Cách nhanh chóng để kiểm tra xem hai vectơ trạng thái có tương đương với các phép toán Pauli không

Tôi đang tìm mã nhanh, hoặc một thuật toán nhanh, để kiểm tra nếu một trạng thái đã cho vector $A$ có thể được chuyển đổi thành một vector trạng thái $B$ chỉ sử dụng các hoạt động Pauli $X$ , $Y$ , $Z$ .

Chiến lược ngây thơ chỉ đơn giản là lặp qua tất cả $4^n$ cách để áp dụng một hoạt động Pauli (hoặc không hoạt động) cho mỗi $n$ qubit, trên thực tế mô phỏng áp dụng các hoạt động ( $2^n$ chi phí cho mỗi qubit cho từng trường hợp) đến một trong các quốc gia và kiểm tra xem vectơ trạng thái kết quả có tương đương với trạng thái khác không. Chắc chắn nó có thể làm điều này trong tốt hơn so với trường hợp xấu nhất $n 8^n$ thời gian?

[Cập nhật] Tôi đặc biệt quan tâm đến hiệu suất trường hợp xấu nhất . Heuristic là câu trả lời thú vị và hữu ích, nhưng sẽ không trở thành câu trả lời được chấp nhận.

pauli-gates

— Craig Gidney
nguồn

Câu trả lời:

Cách mà tôi nghĩ để bắt đầu là nhìn vào ma trận mật độ giảm của các qubit riêng lẻ. Nếu chúng không thể được chuyển đổi bằng ma trận Pauli, thì toàn bộ điều đó không thể.

Vấn đề duy nhất là ý tưởng này bị phá vỡ ngay khi bất kỳ ma trận mật độ giảm nào được trộn lẫn tối đa. Tại thời điểm đó, bạn có thể hỏi "hai quốc gia có tương đương với các quốc gia địa phương không?". Nếu bạn rút ra được sự bất hợp pháp là kết quả của câu hỏi đó, thì thật dễ dàng để kiểm tra xem họ có phải là Pauli hay không. Điều này đã được nghiên cứu ở đây . Tôi nghĩ rằng vẫn có những trường hợp tỷ lệ có vấn đề, nhưng tôi không nhớ bit với ma trận mật độ giảm hỗn hợp tối đa đủ tốt.

— DaftWullie
nguồn

Đó là một heuristic tốt cho các tiểu bang như

, nhưng các quốc gia phổ biến như tiểu bang đồ thị mà không cần bất kỳ nút singleton sẽ không được hưởng lợi từ nó. Ý tưởng này khái quát hóa ví dụ như nhìn vào ma trận mật độ giảm của các cặp hoặc bộ ba qubit.

| C C Z ⟩

$|CCZ\rangle$

— Craig Gidney

Tôi đồng ý. Tất nhiên, đối với các trạng thái đồ thị đã có rất nhiều nghiên cứu về sự tương đương của Clifford cục bộ , nhưng sau đó bạn phải bắt đầu nói về cách các trạng thái được chỉ định. Sự khó khăn trong việc phân biệt giữa Clifford địa phương và tương đương Un nhất địa phương là gợi ý về vấn đề có thể nói chung là khó chịu như thế nào.

— DaftWullie

Chọn một phần tử $a_i$ của A và tìm vị trí của nó trong B, bỏ qua các thay đổi trong pha. Sự thay đổi vị trí xác định duy nhất một loạt các ứng dụng $X$ hoặc $Y$ cần thiết cho việc chuyển đổi.

Pha tương đối của $(a_0, b_0)$ cho bạn biết, trong các bước của $-i$ phép quay, bạn cần bao nhiêu cổng $Y$ để chuyển đổi. Pha tương đối của $(a_1,b_1)$ đến $(a_0,b_0)$ cho bạn biết có nhiều cổng $Y$ hoặc $Z$ hoạt động trên qubit đầu tiên; và cứ thế cho pha tương đối của $(a_{2^{k-1}},b_{2^{k-1}})$ đến $(a_0,b_0)$ cho các cổng $Y$ hoặc $Z$ hoạt động trên qubit $k$ .

Nếu $a_i$ không xuất hiện trong B thì việc chuyển đổi là không thể.

Tôi tin rằng những điều trên có thể được thực hiện trong $O(n)$ -sh.

— Mười hai
nguồn

Chuyện gì xảy ra nếu các yếu tố

là không duy nhất?

a_{i}

$a_i$

— DaftWullie

Bạn có trường hợp. Trong mọi trường hợp khi sự suy biến của các yếu tố làm tăng vấn đề trở nên tầm thường hơn. Các yếu tố (độ lớn của) của A và B phải được cân bằng.

— Eelvex

Nhưng những gì về trạng thái như trạng thái đồ thị trong đó tất cả các yếu tố có cùng độ lớn? Điểm tôi đang cố gắng đưa ra là việc xử lý các vụ việc sẽ dẫn đến việc nổ tung theo cấp số nhân. Phải thừa nhận rằng, đề xuất của bạn là rất tốt để loại bỏ hoặc giải quyết rất nhiều trường hợp đơn giản.

— DaftWullie

X

$X$

Đây là một heuristic tốt cho các trạng thái nhất định. Nhưng tôi đặc biệt tìm kiếm một thuật toán có hiệu suất tốt nhất trong trường hợp xấu nhất.

— Craig Gidney