Tách NP khỏi BQP liên quan đến một nhà tiên tri

Tôi đã nhìn vào này giảng lưu ý nơi tác giả đưa ra một tách oracle giữa $\mathsf{BQP}$ và $\mathsf{NP}$ . Ông gợi ý về cách "các kỹ thuật đường chéo tiêu chuẩn có thể được sử dụng để làm cho sự nghiêm ngặt này".

$\mathsf{BQP}$$A$$\mathsf{NP}^{A} \not\subseteq \mathsf{BQP}^{A}$

Dường như đối với tôi, các đối số đường chéo có thể được sử dụng chỉ khác một chút so với tiêu chuẩn, ví dụ  như có thể tìm thấy trong các ghi chú bài giảng về Định lý Baker Baker Gillald Solovay ( nghĩa là có các phép lạ mà và cũng là phép lạ mà ). Về cơ bản, bạn phải mô tả cách 'kỹ sư' một đầu vào đối nghịch khác nhau một chút.$A$$\mathsf P^A = \mathsf{NP}^A$$A$$\mathsf P^A \ne \mathsf{NP}^A$

Đây là cách chúng ta có thể sử dụng phương pháp này để chứng minh sự tồn tại của một oracle mà . Đối với bất kỳ lời tiên tri , hãy xác định ngôn ngữ Rõ ràng là lý do đơn giản là máy Turing không xác định có thể kiểm tra xem đầu vào có phải là dạng cho một số , sau đó đoán một chuỗi mà nếu đó tồn tại. Mục tiêu là để cho thấy rằng$A$$\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$$A$

$$L_A = \Bigl\{ 1^n \;\Big\vert\; \exists z \in \{0,1\}^n : A(z,0) = (z,1)\Bigr\} .$$ $L_A \in \mathsf{NP}^A$$1^n$$n$$z \in \{0,1\}^n$$A(z,0) = (z,1)$$z$$L_A$ O ( 2 n /không thể được quyết định trong thời gian đa thức, với lỗi giới hạn, bởi một họ mạch đơn nhất thống nhất, sử dụng bị ràng buộc thấp hơn trong vấn đề tìm kiếm.$O(2^{n/2})$

1. Đặt sao cho vấn đề tìm kiếm trên các phép lạ với đầu vào -bit yêu cầu ít nhất truy vấn orory để quyết định chính xác (với xác suất ít nhất là 2/3), cho tất cả .$c,N > 0$$n$$c 2^{n/2}$$n > N$
   
   

2. Hãy,, là một phép liệt kê của tất cả các họ mạch đơn vị , sao cho chuỗi cổng của mạchhành động trên các đầu vào -bit có thể được tạo ra trong thời gian ít hơn . (Thời gian này liên quan đến điều kiện 'tính đồng nhất', nơi chúng ta sẽ quan tâm đến các mạch có thể được tính bằng máy Turing xác định trong thời gian đa thức - một điều kiện mạnh hơn chúng ta áp đặt ở đây. ví dụ, bằng cách đại diện cho chúng một cách gián tiếp bằng các máy Turing xác định$\mathbf C^{(1)}\!$$\mathbf C^{(2)}\!$$\ldots$$\mathbf C^{(k)} \!= \{ C^{(k)}_n \}_{n \geqslant 0 }$$C^{(k)}_n\!$$n$$c 2^{n/2}$$\mathbf T^{(k)}$ tạo ra các chuỗi cổng của chúng và liệt kê các chuỗi đó .) Chúng tôi liệt kê các họ mạch sao cho mỗi họ mạch xảy ra vô hạn thường xuyên trong bảng liệt kê.

   • Từ các giới hạn thời gian chạy trên mô tả trình tự cổng, cụ thể là có ít hơn cổng cho tất cả , và đặc biệt tạo ra ít hơn truy vấn đến nhà tiên tri.$C^{(k)}_n$$c 2^{n/2}$$k$$c 2^{n/2}$

   • Với mọi , hãy xem xét mạch. Từ giới hạn dưới của vấn đề tìm kiếm, chúng tôi biết rằng với , có các giá trị có thể có của hàm orory đánh giá bởi nhà tiên tri, chẳng hạn với xác suất 2/3, đầu ra được tạo bởitrên đầu vào không phải là câu trả lời chính xác cho dù .$n$$C^{(n)}_n\!$$n > N$$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$C^{(n)}_n\!$$1^n$$\exists z \!\in\! \{0,1\}^n\!:\! f(z) \!=\! 1$

   • Với mỗi , hãy chọn một hàm mà "fail" theo cách này.$n > N$$f_n$$C^{(n)}_n$
     
     

3. Đặt là một lời tiên tri, trên các đầu vào có kích thước , sẽ đánh giá .$A$$n > N$$f_{\!\!\:n\!\:}$

Đã xây dựng theo cách này, mỗi họ mạch không quyết định chính xác với xác suất ít nhất là 2/3, đối với một số (và thực tế là vô số n như vậy ). Sau đó, không ai trong số các họ mạch C ( k ) quyết định chính xác L A với xác suất thành công giới hạn dưới 2/3 trên tất cả các đầu vào, do đó L A không thể được giải quyết bằng các giới hạn đó bởi bất kỳ họ mạch đơn vị thống nhất nào có thể xây dựng được trong thời gian p ( n ) .$A$$\mathbf C^{(n)}$$L_A$$n > N$$n$$\mathbf C^{(k)}$$L_A$$L_A$$p(n)$

Như vậy, $L_A \notin \mathsf{BQP}^A$ , từ đó nó sau đó $\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$ .