ma trận hiệp phương sai trong EKF?

16

Tôi đang vật lộn với khái niệm ma trận hiệp phương sai.

Σ = = [\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x θ} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y θ} \\ σ_{θ x} & σ_{θ y} & σ_{θ θ} \end{matrix}]

$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{x \theta} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{y \theta} \\ \sigma_{\theta x} & \sigma_{\theta y} & \sigma_{\theta \theta} \\ \end{bmatrix}$ Bây giờ, sự hiểu biết của tôi cho , và mà họ mô tả sự không chắc chắn. Ví dụ: cho

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

σ_{y y}

$\sigma_{yy}$

σ_{θ θ}

$\sigma_{\theta \theta}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$ , nó mô tả sự không chắc chắn của giá trị của x. Bây giờ, câu hỏi của tôi về phần còn lại của sigmas, chúng đại diện cho cái gì? Điều đó có nghĩa là gì nếu chúng là số không? Tôi có thể giải thích rằng nếu bằng 0, điều đó có nghĩa là tôi không có sự không chắc chắn về giá trị của x.

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

Lưu ý, tôi đang đọc Nguyên tắc chuyển động của Robot - Lý thuyết, Thuật toán và Triển khai của Howie Choset et. al., nói rằng

Theo định nghĩa này $\sigma_{ii}$ giống với phương sai của . Với , nếu , thì và độc lập với nhau. $\sigma_{i}^{2}$ $X_{i}$ $i ≠ j$ $\sigma_{ij} = 0$ $X_{i}$ $X_{j}$

Điều này có thể trả lời câu hỏi của tôi nếu phần còn lại của sigmas là số không, tuy nhiên, tôi vẫn nhầm lẫn về mối quan hệ giữa các biến này, ví dụ và . Khi nào điều này xảy ra? Ý tôi là sự tương quan giữa chúng. Hay nói cách khác, tôi có thể cho rằng chúng là số không? $x$ $y$

Một cuốn sách khác là FastSLAM: Phương pháp có thể mở rộng ... của Michael và Sebastian, trong đó nêu rõ

Các phần tử nằm ngoài đường chéo của ma trận hiệp phương sai của Gaussian đa biến này mã hóa các mối tương quan giữa các cặp biến trạng thái.

Họ không đề cập đến khi mối tương quan có thể xảy ra và nó có nghĩa là gì?

kalman-filter noise

— CroCo
nguồn

5

Đây là một trường hợp đồ chơi trong đó các yếu tố ngoài đường chéo là khác không.

Hãy xem xét một vectơ trạng thái bao gồm vị trí của cả bánh xe bên trái và bên phải thay vì chỉ một vị trí duy nhất cho robot. Bây giờ nếu bánh xe bên trái có vị trí 100m thì bạn biết bánh xe bên phải cũng sẽ có vị trí khoảng 100m (tùy thuộc vào chiều dài trục). Khi bánh xe bên trái tăng vị trí, bánh xe bên phải, nói chung. Đây không phải là tương quan chính xác 1: 1, ví dụ: nó không giữ chính xác khi robot quay, nhưng nhìn chung nó giữ.

Vì vậy, ở đây lối vào chéo giữa vị trí x bánh xe bên trái và vị trí x bánh xe bên phải sẽ gần bằng 1.

— ryan0270
nguồn

Ok, nếu mô hình của tôi được biểu diễn dưới dạng một điểm di chuyển trong môi trường phẳng (ei 2D), thì các phần tử nằm ngoài đường chéo là số không vì không có mối tương quan như vậy giữa các phần tử đường chéo. Giả định này có đúng không? Và trong trường hợp điểm này phát hiện một mốc có hai tọa độ (ei

), tôi cũng có thể giả sử các số 0 tương quan không?

x, y

$x, y$

— CroCo

Đối với câu hỏi đầu tiên của bạn, có, bạn có thể để các yếu tố ngoài đường chéo bằng không. Đối với lần thứ hai, nó phụ thuộc vào cách bạn xử lý nó. Nếu bạn chỉ sử dụng mốc để ước tính vị trí hiện tại của bạn, không có mối tương quan. Nếu bạn thêm các vị trí mốc vào vectơ trạng thái (như thường thấy trong SLAM) thì chúng sẽ bắt đầu phát triển mối tương quan giữa chúng.

— ryan0270

4

Để có được cảm giác về ma trận hiệp phương sai - mà không cần đi sâu vào các chi tiết toán học ở đây - tốt nhất là bắt đầu với ma trận 2x2. Sau đó, hãy nhớ rằng ma trận hiệp phương sai là một phần mở rộng của khái niệm phương sai trong trường hợp đa biến. Trong trường hợp 1D, phương sai là một thống kê cho một biến ngẫu nhiên duy nhất. Nếu biến ngẫu nhiên của bạn có phân phối Gaussian với giá trị trung bình bằng 0, phương sai của nó có thể xác định chính xác hàm mật độ xác suất.

Bây giờ, nếu bạn mở rộng biến này thành hai biến thay vì một biến, bạn có thể phân biệt giữa hai trường hợp. Nếu hai biến của bạn là độc lập, điều đó có nghĩa là kết quả của một giá trị không có liên quan đến giá trị kia, về cơ bản nó giống như trong trường hợp 1D. Bạn và bạn cho phương sai của và là một phần của biến ngẫu nhiên của bạn, và sẽ bằng không. $\sigma_{xx}$ $\sigma_{yy}$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

Nếu các biến của bạn phụ thuộc thì điều này là khác nhau. Phụ thuộc có nghĩa là có một mối quan hệ giữa kết quả của và . Ví dụ, bạn có thể có bất cứ khi nào dương, nói chung có nhiều khả năng cũng dương. Điều này được đưa ra bởi giá trị hiệp phương sai của bạn . $x$ $y$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

Đưa ra một ví dụ cho robot trong trường hợp 2D không có định hướng là một chút khó khăn, nhưng giả sử bạn có một thành phần ngẫu nhiên dọc theo hướng di chuyển trên -axis và bạn biết rằng thành phần này cũng tạo ra sự trôi dạt trên trục bên của bạn ( ). Điều này có thể là một bánh xe bị lỗi. Điều này sẽ dẫn đến một hình elip không chắc chắn xoay. Bây giờ, ví dụ như khi sau này bạn có thứ gì đó đo vị trí thực tế của mình , bạn có thể ước tính phân phối độ không đảm bảo trên thành phần của mình . $x$ $y$ $x$ $y$

$\theta$

$1 \sigma$

Điều này cũng đúng trong trường hợp 3D. Tôi rất thích có thêm toán học ở đây, nhưng có lẽ một thời gian sau.

— Jakob
nguồn

Σ

$\Sigma$

x

$x$

y

$y$

1

@CroCo Tôi nghĩ rằng ví dụ mà bạn đang yêu cầu được mô tả trong đoạn thứ tư của câu trả lời.

— Demetris