Trong điều khiển PID, các cực và số không biểu thị điều gì?

Bất cứ khi nào tôi đọc một văn bản về điều khiển (ví dụ như điều khiển PID), nó thường đề cập đến 'cực' và 'số không'. Họ có ý nghĩa gì bởi điều đó? Trạng thái vật lý nào mà một cực hoặc không mô tả?

Hàm $T(\mathbf{x})$ mô tả cách thức đầu vào của hệ thống ánh xạ tới đầu ra của hệ thống được gọi là hàm truyền.

Đối với các hệ tuyến tính, hàm truyền có thể được viết là trong đó N và D là đa thức, tức là T ( x ) = N ( x$N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$$N$$D$

Các số 0 của hệ thống là các giá trị của thỏa mãn câu lệnh N ( x ) = 0 . Nói cách khác, chúng là gốc của đa thức N ( x ) . Như N ( x ) . tiếp cận 0, tử số của hàm truyền (và do đó chính hàm truyền) tiếp cận giá trị 0.$x$$N(\mathbf{x}) = 0$$N(\mathbf{x})$$N(\mathbf{x})$

Tương tự các cực của hệ thống là các giá trị của thỏa mãn câu lệnh D ( x ) = 0 . Nói cách khác, chúng là gốc của đa thức D ( x ) . Khi D ( x ) tiến đến một cực, mẫu số của hàm truyền đạt tới 0 và giá trị của hàm truyền đạt tới vô cùng.$x$$D(\mathbf{x}) = 0$$D(\mathbf{x})$$D(\mathbf{x})$

Các cực và số không cho phép chúng ta hiểu cách một hệ thống sẽ phản ứng với các đầu vào khác nhau. Các số 0 rất thú vị vì khả năng chặn tần số trong khi các cực cung cấp cho chúng ta thông tin về sự ổn định của hệ thống. Nói chung, chúng ta vẽ đồ thị các cực và số không trong mặt phẳng phức và chúng ta nói rằng một hệ thống được giới hạn đầu vào giới hạn đầu vào (BIBO) ổn định nếu các cực nằm ở nửa bên trái của mặt phẳng phức (LHP - Mặt phẳng nửa bên trái).

Cuối cùng, khi chúng tôi thiết kế một bộ điều khiển, chúng tôi có hiệu lực điều khiển các cực và số không để đạt được các thông số thiết kế cụ thể.

Các hàm truyền đa thức này xảy ra, khi bạn thực hiện phép biến đổi Laplace trên một số phương trình vi phân tuyến tính thực sự mô tả robot của bạn hoặc là kết quả của việc tuyến tính hóa động lực học của robot ở một trạng thái mong muốn. Hãy nghĩ về nó giống như một "bản mở rộng Taylor" xung quanh trạng thái đó.

Biến đổi Laplace là sự khái quát hóa của biến đổi Fourier thành các hàm không theo định kỳ. Trong kỹ thuật điện, biến đổi Laplace được hiểu là sự biểu diễn của hệ thống trong miền tần số , tức là nó mô tả, cách hệ thống truyền bất kỳ tần số nào từ tín hiệu đầu vào. Zeros sau đó mô tả các tần số không được truyền đi. Và như DaemonMaker đã đề cập, các cực rất quan trọng khi xem xét tính ổn định của hệ thống: Chức năng chuyển của hệ thống chuyển sang vô cực gần các cực.

Ý nghĩa của chúng trong bối cảnh kiểm soát:

Ba Lan : Họ nói với bạn, nếu một hệ thống (cũng có thể là một hệ thống mới, trong đó bạn đã chèn một vòng phản hồi với luật kiểm soát) có ổn định hay không. Thông thường bạn muốn một hệ thống ổn định. Vì vậy, bạn muốn tất cả các cực của hệ thống nằm trong nửa mặt phẳng bên trái (tức là phần thực của các cực phải nhỏ hơn 0). Các cực là giá trị riêng của ma trận hệ thống của bạn . Khoảng cách chúng ở trên nửa mặt phẳng bên trái cho bạn biết hệ thống hội tụ nhanh đến trạng thái nghỉ như thế nào. Càng ở xa trục tưởng tượng, hệ thống hội tụ càng nhanh.

Số không : Chúng có thể thuận tiện nếu bạn có một cực trên nửa mặt phẳng bên phải hoặc vẫn ở nửa mặt phẳng bên trái, nhưng quá gần với trục tưởng tượng: Bằng cách sửa đổi thông minh hệ thống của bạn, bạn có thể chuyển các số không lên các cực không mong muốn của mình để tiêu diệt họ .

Tôi thực sự không thể nói về các số không của hàm truyền, nhưng các cực của hàm truyền chắc chắn có một cách hiểu có ý nghĩa.

Để hiểu được cách giải thích này, bạn phải nhớ rằng hệ thống mà chúng ta muốn kiểm soát thực sự là một trong hai điều: hoặc là một khác biệt phương trình hay một sự khác biệt phương trình. Trong cả hai trường hợp, cách tiếp cận phổ biến để giải các phương trình này là xác định giá trị riêng của chúng. Quan trọng hơn, khi hệ thống là tuyến tính, các giá trị riêng của phương trình vi phân / chênh lệch tương ứng chính xác với các cực của hàm truyền. Vì vậy, bằng cách lấy các cực, bạn thực sự có được các giá trị riêng của phương trình ban đầu. Chính các giá trị riêng của phương trình ban đầu (theo tôi) thực sự quyết định sự ổn định của hệ thống; nó chỉ là một sự trùng hợp đáng kinh ngạc rằng các cực của một hệ tuyến tính chính xác là giá trị riêng của phương trình ban đầu.

Để minh họa điều này, hãy xem xét hai trường hợp riêng biệt:

Trường hợp 1: Phương trình vi phân

$x(t)=Ce^{\lambda t}$$\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$$t\rightarrow \infty$$Re(\lambda)<0$$Re(\lambda)\ge 0$$e^{\lambda t}$

Trường hợp 2: Phương trình sai phân

$x_t=C\lambda^t$$\lambda$ $x_t\rightarrow 0$$t\rightarrow\infty$$|\lambda|<1$$|\lambda|\ge 1$$\lambda^t$

Trong cả hai trường hợp, các cực của hàm hệ thống và các giá trị riêng của phương trình vi phân / đồng nhất (đồng nhất) là hoàn toàn giống nhau! Theo ý kiến ​​của tôi, nó có ý nghĩa hơn đối với tôi để giải thích các cực như là giá trị riêng vì giá trị riêng giải thích điều kiện ổn định theo cách tự nhiên hơn.