Các hệ thống động lực học khác nhau và thời gian khác nhau và phân tích Lyapunov của họ

Có thể phân biệt các tính chất "thay đổi theo thời gian" và "không tự trị" trong các hệ thống động lực liên quan đến phân tích ổn định Lyapunov?

Liệu nó có tạo ra sự khác biệt nếu hệ thống phụ thuộc rõ ràng vào hoặc gián tiếp vào do tham số thay đổi theo thời gian?$t$$t$

Tôi muốn giải thích chi tiết vấn đề:

Đặt một hệ thống động được ký hiệu là , với trạng thái . Chúng tôi nói rằng một hệ thống động lực là không tự trị nếu động lực phụ thuộc vào thời gian , tức là$\dot x = f$$x$$f$$t$

$$\dot x = f(t,x).$$

Chẳng hạn, các hệ thống và là không tự trị. Đặt là tham số biến đổi theo thời gian giới hạn, nghĩa là và hoàn toàn dương, tức là .

$$\dot x = - t x^2$$ $$\dot x = -a(t)x,$$ $a(t)$$||a(t)||<a^+$$a(t) > 0$

Đặc biệt, ví dụ thứ hai có nhiều khả năng được ký hiệu là một hệ thống tuyến tính thay đổi theo thời gian, nhưng tất nhiên nó không tự trị.

Trong phân tích ổn định Lyapunov, các hệ thống tự trị và không tự trị phải được phân biệt mạnh mẽ để đưa ra các khẳng định về tính ổn định của hệ thống, và phân tích Lyapunov cho các hệ thống phi tự trị khó khăn hơn nhiều.

Và ở đây cho tôi một số câu hỏi phát sinh. Khi tôi muốn phân tích sự ổn định của ví dụ thứ hai, tôi phải thực sự sử dụng lý thuyết Lyapunov cho các hệ thống không tự trị?

Nó theo sau cho ứng cử viên$V = 1/2 x^2$

$$\dot V = -a(t)x^2,$$

đó là âm xác định. Là nguồn gốc thực sự ổn định không có triệu chứng, như tôi cho rằng, hoặc tôi phải tính đến đặc tính không tự động trong trường hợp này?

Tôi cho rằng nó sẽ tạo ra sự khác biệt nếu một hệ thống phụ thuộc rõ ràng vào như trong ví dụ đầu tiên hoặc chỉ gián tiếp do tham số thay đổi theo thời gian, vì tiếp cận vô hạn, nhưng tham số thì không.$t$$t$

Bạn có định nghĩa "không tự trị" không chính xác. Vui lòng tham khảo tài liệu tham khảo có thẩm quyền về lý thuyết kiểm soát, chẳng hạn như một của Sastry, Khalil hoặc Slotine và Li

Dưới đây là một bản tóm tắt ngắn gọn về các thuật ngữ được sao chép từ toán học stackexchange

Một hệ thống là bất biến thời gian nếu các tham số hệ thống không phụ thuộc vào thời gian

Các hệ thống này được đại diện bởi:

$$\dot x = f(x,u), \dot x = f(x)$$ hoặc khi hệ thống là tuyến tính $$\dot x = Ax + Bu, \dot x = Ax$$

Một hệ thống thay đổi theo thời gian nếu các tham số hệ thống phụ thuộc vào thời gian

Các hệ thống này được đại diện bởi:

$$\dot x = f(x,u,t)$$ hoặc là $$\dot x = A(t) x + B(t)u$$

Đối với mạch RLC, $A(t)$có thể đại diện cho ma trận chứa thời gian thay đổi điện dung, điện cảm hoặc điện trở. Tương tự, đối với hệ thống giảm xóc lò xo khối,$A(t)$có thể đại diện cho thời gian thay đổi giảm xóc, ma sát và khối lượng. Tất nhiên, tất cả các hệ thống thực là thời gian thay đổi mặc dù trên quy mô của giờ, năm hoặc thậm chí là thiên niên kỷ.

Một hệ thống (bất biến thời gian) là tự trị nếu đầu vào$u$ là một chức năng của nhà nước:

Các hệ thống này được đại diện bởi:

$$\dot x = f(x,u(x)) = f(x)$$ hoặc là $$\dot x = Ax + Bu(x) = (A-BK)x$$ Giả sử rằng chúng tôi đang sử dụng thông tin phản hồi $u = -Kx$. Bất kỳ hệ thống phản hồi trạng thái là tự trị, bởi vì đầu vào của bạn$u$ là một chức năng của nhà nước của bạn.

Và bạn có thể đoán nó, một hệ thống không tự trị (bất biến thời gian) là khi đầu vào của bạn không phải là một chức năng của nhà nước

Các hệ thống này được đại diện bởi:

$$\dot x = f(x,u)$$ hoặc là $$\dot x = Ax + Bu$$

Ví dụ, $u$ có thể là sự chiếu xạ của mặt trời chiếu vào một tấm pin mặt trời, trong đó như $x$đóng gói các trạng thái của bảng điều khiển năng lượng mặt trời. Bảng điều khiển năng lượng mặt trời sẽ không ảnh hưởng đến ánh nắng mặt trời hoặc mặt trời cho vấn đề đó, hoặc đám mây đi qua mặt trời.

Đối với câu hỏi của bạn, bạn (rất có thể) * không thể sử dụng chức năng Lyapunov như đề xuất cho hệ thống của bạn, cụ thể là:

Sử dụng

$$V(x) = \dfrac{1}{2}x^2$$

để chứng minh sự ổn định của nguồn gốc cho

$$\dot x = -a(t)x$$

Bởi vì hệ thống của bạn có thời gian thay đổi thông số. Nó là tự trị, và thời gian khác nhau.

Những gì bạn cần làm là xây dựng hàm Lyapunov thay đổi theo thời gian và trong quá trình bạn sẽ gặp khi hàm Lyapunov () được cho là giảm dần, v.v. Đó không phải là một phần của lý thuyết Lyapunov cổ điển, liên quan đến thời gian -invariant, hệ thống tự trị. Tài liệu tham khảo tốt nhất của bạn là văn bản lý thuyết điều khiển của Slotine và Li.

• Lưu ý: Tôi không quen thuộc với các chức năng Lyapunov khác nhau theo thời gian

Không có sự khác biệt giữa hai loại mà bạn đề cập. Trong thực tế, vấn đề của tôi là hiểu lý do tại sao bạn có thể phân biệt chúng trong tâm trí của bạn (thật lòng tôi không hiểu, xin lỗi vì điều này), vì không có sự khác biệt về toán học giữa chúng.

Đúng là các hệ thống không tự trị có thể được tự động bằng cách thêm một số biến (một số phương trình) nhưng bạn cần biết những gì bạn đang làm vì thường thêm các phương trình này (không cần phải như vậy $t'=1$ loại thay đổi ổn định).