Nhiều vòng điều khiển với các hiệu ứng chồng chéo

Tôi quen với việc sử dụng PID để thực hiện điều khiển vòng kín khi có một đầu ra duy nhất và một tín hiệu lỗi duy nhất cho việc đầu ra đạt được điểm đặt mong muốn tốt như thế nào.

Tuy nhiên, giả sử có nhiều vòng điều khiển, mỗi vòng có một tín hiệu đầu ra và một tín hiệu lỗi, nhưng các vòng lặp không hoàn toàn độc lập. Đặc biệt, khi một vòng lặp tăng tín hiệu cơ cấu chấp hành, điều này sẽ thay đổi tác động của đầu ra từ các vòng lặp khác trong hệ thống.

Ví dụ cụ thể, hãy tưởng tượng một nguồn điện áp nối tiếp với một điện trở, đặt một điện áp trên một hệ thống gồm sáu điện trở có thể điều chỉnh song song. Chúng ta có thể đo dòng điện qua từng điện trở và chúng ta muốn điều khiển dòng điện của từng điện trở một cách độc lập bằng cách điều chỉnh điện trở. Tất nhiên, mẹo ở đây là khi bạn điều chỉnh điện trở của một điện trở, nó sẽ thay đổi điện trở chung của bộ song song, điều đó có nghĩa là nó thay đổi sự sụt giảm điện áp do bộ chia với điện trở của nguồn điện áp và do đó thay đổi dòng điện qua các điện trở khác .

Bây giờ, rõ ràng chúng ta có một mô hình lý tưởng cho hệ thống này, vì vậy chúng ta có thể dự đoán điện trở nào chúng ta nên sử dụng đồng thời cho tất cả các điện trở bằng cách giải một tập các phương trình tuyến tính. Tuy nhiên, toàn bộ điểm của điều khiển vòng kín là chúng tôi muốn sửa cho các lỗi / sai lệch không xác định khác nhau trong hệ thống đi chệch khỏi mô hình lý tưởng của chúng tôi. Câu hỏi sau đó: một cách tốt để thực hiện điều khiển vòng kín khi bạn có một mô hình với loại khớp nối chéo này là gì?

control pid

— Dan Bryant
nguồn

Thông thường với một m ultiple i nput, m ultiple o utput (MIMO) hệ thống, một kỹ sư kiểm soát sử dụng một bộ điều khiển phản hồi trạng thái . Kiểu bộ điều khiển này sử dụng mô hình không gian trạng thái của hệ thống và thường có dạng:

\dot{x} = = Một x + B bạn y = = C x + D bạn

$\dot{x}=\mbox{A}x+\mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

nơi là một vector của các quốc gia, là một vector đầu vào, là một vector của các kết quả đầu ra, và đạo hàm thời gian của các tiểu bang, , cho thấy cách các quốc gia phát triển theo thời gian, được xác định bởi sự kết hợp của các quốc gia và đầu vào . Kết quả đầu ra cũng được xác định bởi sự tương tác giữa các quốc gia và các đầu vào, nhưng kết quả đầu ra có thể là bất kỳ sự kết hợp, vì vậy các ma trận trạng thái đầu ra và đầu vào là khác nhau - và . $x$ $u$ $y$ $\dot{x}$ $\mbox{A}$ $\mbox{B}$ $\mbox{C}$ $\mbox{D}$

Tôi sẽ không đi sâu vào chi tiết về các điều khiển phản hồi trạng thái, nhưng nói chung, ma trận "ánh xạ" hoặc liên kết một trạng thái cụ thể hoặc đầu vào với trạng thái hoặc đầu vào khác. Chẳng hạn, nếu bạn muốn mô hình hóa một hệ phương trình vi phân không liên quan, bạn sẽ nhận được một cái gì đó như: $\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$

đại diện:

\dot{x} = = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}]

{\dot{x}}_{1} = = k_{1} x_{1} {\dot{x}}_{2} = = k_{2} x_{2} {\dot{x}}_{3} = = k_{3} x_{3}

$\dot{x}_1 = k_1 x_1 \\ \dot{x}_2 = k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 = k_3 x_3 \\$

Nếu bạn muốn thêm đầu vào vào phương trình cho và đầu vào thành , thì bạn có thể thêm một thuật ngữ : $u_1$ $\dot{x}_1$ $u_2$ $\dot{x}_3$ $\mbox{B}u$

\dot{x} = = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} {bạn}_{1} \\ {bạn}_{2} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$

Nếu bạn muốn giữ điều này, nhưng bạn nghĩ rằng trạng thái đóng góp vào cách thay đổi, bạn có thể thêm tương tác đó: $x_1$ $x_2$

\dot{x} = = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ k_{x_{1} \to x_{2}} & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} {bạn}_{1} \\ {bạn}_{2} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ \boxed{ k_{x_1 \rightarrow x_2} } & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$

Khi bạn viết chúng ra ngay bây giờ, bạn nhận được:

\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} & = = & k_{1} x_{1} + {bạn}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} & = = & k_{x_{1} \to x_{2}} x_{1} + k_{2} x_{2} \\ {\dot{x}}_{3} & = = & k_{3} x_{3} + {bạn}_{2} \end{matrix}

$\begin{array} \\ \dot{x}_1 & = & k_1 x_1 + u_1 \\ \dot{x}_2 & = & k_{x_1 \rightarrow x_2}x_1 + k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 & = & k_3 x_3 + u_2 \end{array}$

$\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$ $\mbox{A}$

$\mbox{A}$

Bạn cũng có thể đánh giá hệ thống để xem nó có thể kiểm soát được hay không , nghĩa là bạn có thể sử dụng đầu vào của mình để thay đổi tất cả các trạng thái theo cách duy nhất và để xem liệu nó có thể quan sát được hay không , nghĩa là bạn thực sự có thể xác định giá trị nào của nhà nước là.

$-\mbox{G}x$

\dot{x} = = Một x + B (bạn - G x) y = = C x + D bạn

$\dot{x} = \mbox{A}x + \mbox{B}(u - \mbox{G}x) \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

trở thành:

\dot{x} = = Một x - BG x + B bạn y = = C x + D bạn

$\dot{x} = \mbox{A}x - \mbox{BG}x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

có thể được sắp xếp lại như:

\dot{x} = = [Một - BG] x + B bạn y = = C x + D bạn

$\dot{x} = [\mbox{A}-\mbox{BG}]x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

$\mbox{A}$ $\mbox{A-BG}$ $\mbox{G}$

$y$ $\hat{y}$ $R\times I$

Như tôi đã nói, có một tấn thông tin liên quan đến mô hình hóa các hệ thống và thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái, tôi chỉ nêu quá trình chung như tôi tin rằng đây là phạm vi bạn đang tìm kiếm với câu hỏi của bạn.

— Chuck
nguồn

Cảm ơn, đây là một cơ sở tuyệt vời cho một số nghiên cứu thêm.

— Dan Bryant

câu trả lời tuyệt vời, tl; dr; các giá trị vô hướng mô tả hệ thống SISO trở thành ma trận cho hệ thống MIMO, "khớp nối chéo" có thể được nhìn thấy trong các giá trị ngoài đường chéo trong ma trận.

— Đơn vị uốn cong ngày 22