Vị trí tối ưu của tâm khối lượng cho một con lắc ngược

Tôi đang chế tạo một con lắc ngược được điều khiển bởi động cơ DC, nhưng tôi đã chạy qua một câu hỏi hóc búa. Kinh nghiệm cuộc sống cá nhân cho tôi biết rằng tốt hơn là có một trung tâm khối lượng thấp hơn để duy trì sự cân bằng. Mặt khác, mô men quán tính càng lớn (ví dụ trọng tâm khối lượng càng cao) thì càng dễ duy trì sự cân bằng.

Cả hai quan điểm này đều có vẻ hợp lý, và cũng có vẻ mâu thuẫn. Đối với một con lắc ngược, có sự cân bằng tối ưu giữa hai quan điểm không? Hay là một điều hoàn toàn đúng trong khi người kia hoàn toàn sai? Nếu một người sai, thì lỗi ở đâu trong suy nghĩ của tôi?

Hai quan điểm không mâu thuẫn; chúng áp dụng cho hai tình huống khác nhau mà bạn đang coi là một tình huống duy nhất.

Kinh nghiệm cá nhân của bạn về việc có một trung tâm khối lượng thấp áp dụng cho các tình huống có vị trí ổn định - chiều cao tối thiểu cục bộ cho trung tâm khối lượng. Ví dụ: nếu bạn có một chiếc bình trên kệ, chiều cao của khối tâm của chiếc bình (liên quan đến chiều rộng của đế) sẽ xác định khoảng cách mà nó có thể lắc lư từ bên này sang bên kia mà không bị lật. Hiển thị ở đây với xe tải:

Sự chao đảo của một chiếc bình thể hiện xu hướng khối lượng của chiếc bình trở lại chiều cao tối thiểu cục bộ đó. Nếu nó vượt quá xa, trung tâm của khối sẽ tìm thấy một chiều cao tối thiểu khác nhau (và không mong muốn).

Tình huống con lắc ngược không có vị trí "ổn định" - không có tối thiểu cục bộ cho tâm khối lượng. Điều này không đáng ngạc nhiên, vì nó dựa trên một điểm duy nhất.

Vì vậy, trong ví dụ về chiếc bình, một khi chiếc bình bắt đầu rơi không thể tránh khỏi, chiều cao của khối tâm của chiếc bình sẽ ảnh hưởng đến việc mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành chuyển động đó. Trong trường hợp con lắc ngược, điều này ảnh hưởng đến thời gian bạn phải sửa cho kết quả không mong muốn đó.

Vì vậy, nếu một trong hai cách này là cách "hoàn toàn sai" khi nhìn vào một con lắc ngược, thì đó là tình huống "nghỉ ngơi ở vị trí ổn định".

Các tâm khối lượng thấp hơn ổn định hơn , nhưng một con lắc ngược vốn không ổn định; bất kỳ nhiễu loạn sẽ đặt nó ra.

Chiều cao đến tâm khối lượng phụ thuộc vào mức độ bạn có sẵn, thời gian phản ứng của bạn, cách bạn đo chuyển vị / lực, v.v.

:BIÊN TẬP:

Để giải thích về tuyên bố của tôi ở trên, giả sử bạn đang ước tính vị trí con lắc bằng lực phản ứng trên cỗ xe, trong đó lực tác dụng lên cỗ xe

Chà, trong trường hợp đó, nếu lực phản ứng không đổi (giả sử bạn đang đánh giá lực phát hiện tối thiểu), thì góc liên quan đến lực đó sẽ giảm khi chiều dài con lắc $L$ tăng.

Tương tự, nếu bạn đã có một bộ mã hóa quay / góc có một số góc có thể phát hiện tối thiểu, thì lực phản ứng đặt lên xe ngựa của bạn tăng lên khi chiều dài con lắc tăng.

Ngoài các trường hợp tối thiểu có thể phát hiện, hãy xem xét động năng của con lắc. Đây là một con lắc ngược, vì vậy phần năng lượng tiềm năng được chuyển đổi thành động năng được cho bởi:

(Tất cả các giả định này $\theta=0$ Nhân tiện, khi con lắc thẳng đứng, trong trường hợp có bất kỳ sự nhầm lẫn nào)

Vì vậy, ở đây một lần nữa, cho một hằng số $\theta$, chiều dài con lắc càng dài thì động năng của con lắc càng nhiều. Giả sử rằng bạn đang xem xét lại trường hợp tối thiểu có thể phát hiện được, điều này có nghĩa là chiều dài con lắc càng dài thì hệ thống càng có động năng trước khi bạn có cơ hội phản hồi .

Vì vậy, bây giờ, ngoài thực tế là bạn đang theo dõi nhiều hơn ($\Delta x = L\sin{\theta} \approx L\theta$), con lắc cũng có động năng khởi động cao hơn, có nghĩa là bây giờ bạn phải thực hiện một hành động điều khiển lớn hơn để làm ẩm chuyển động và trở về trạng thái ổn định.

Vì vậy, tóm lại:

1. Nếu bạn đang đo trực tiếp góc của con lắc, chiều dài con lắc ngắn hơn sẽ được ưu tiên vì nó giảm thiểu động năng của con lắc vào thời điểm bạn phát hiện chuyển động.
2. Nếu bạn ước tính góc của con lắc bằng cách đo lực phản ứng trên cỗ xe, chiều dài con lắc dài hơn sẽ được ưu tiên vì nó tương ứng với một góc nhỏ hơn, tương ứng với động năng ban đầu thấp hơn.

Tôi đã tạo một bảng tính ngắn để tạo ra một số lô để thể hiện sự khác biệt:

Bạn có thể trả lời điều này bằng cách xem xét các phương trình chuyển động của một con lắc ngược:

Nếu bạn đồng ý rằng hệ thống dễ điều khiển nhất là hệ thống nhỏ nhất $\ddot \Theta$ để bạn bù lại, thì bạn có ba lựa chọn:

1. Điều khiển con lắc trên mặt trăng để hạ thấp $g$

2. Giữ con lắc gần $\Theta = 0$, bởi vì $\sin(\Theta) \rightarrow \Theta$ cho các giá trị nhỏ của $\Theta$.

3. Làm $l$ càng lớn càng tốt. $l$ là khoảng cách đến tâm khối lượng dọc theo liên kết.

Vì đầu vào điều khiển của bạn vào hệ thống chỉ hoạt động trên giỏ hàng, nên bạn chỉ có thể tác động đến góc của con lắc do khớp nối giữa chuyển động của giỏ hàng và chuyển động của con lắc. Nếu bạn đặt con lắc CG ở trục, không có khớp nối giữa xe đẩy và con lắc, và góc con lắc không còn kiểm soát được nữa. Điều này có thể được xác minh bằng cách kiểm tra ma trận kiểm soát của hệ thống.

Trên giấy, có một số không $l$là đủ tốt - hệ thống có thể được điều khiển ngay khi CG không nằm trên trục xoay. Tuy nhiên, trong thực tế, bạn cần có khả năng kiểm soát góc con lắc khi một lực tác dụng hợp lý được áp dụng cho xe đẩy (điều gì hợp lý phụ thuộc vào sở thích và ngân sách của bạn). Khi con lắc thẳng đứng ($\theta$ = 0), gia tốc con lắc tỷ lệ với gia tốc giỏ hàng:

Nếu mục tiêu của bạn chỉ là ổn định con lắc, có thể mong muốn có một con lớn $m l$ và nhỏ $I$- vì vậy đầu vào điều khiển của bạn ảnh hưởng trực tiếp hơn đến góc con lắc. Nếu bạn có các ràng buộc về lực (và sức mạnh), dịch chuyển giỏ hàng, v.v. hoặc nếu bạn có các mục tiêu khác thì bạn có thể phải chọn các tham số này khác nhau.

Như đã chỉ ra trong các câu trả lời khác, một số hệ thống ổn định hơn khi CG thấp hơn. Tuy nhiên, một con lắc ngược không ổn định (hoặc cho$\theta = 0$, ổn định biên) cho tất cả các giá trị (khác không) của $l$Vì vậy, lý thuyết này không áp dụng. Nói chung, nó là mong muốn có một lớn$l$ và nhỏ $I$ bởi vì nó làm cho việc điều khiển con lắc dễ dàng hơn.