Có cách nào để làm điều tiên quyết

15

Câu hỏi:

Giả sử rằng bạn có hai điều kiện tiên quyết (bao thanh toán) khác nhau cho ma trận xác định dương đối xứng : và trong đó nghịch đảo của các yếu tố là Dễ áp dụng. $A$

Một \approx B^{T} B

$A \approx B^TB$

Một \approx C^{T} C,

$A \approx C^TC,$

B, B^{T}, C, C^{T}

$B, B^T, C, C^T$

Khi nào có thể sử dụng thông tin từ cả và để xây dựng một điều kiện tiên quyết tốt hơn so với chỉ riêng hoặc ? $B$ $C$ $B$ $C$

— Nick Alger
nguồn

13

Bạn có thể sử dụng phụ gia

P_{một}^{- 1} x = = (B^{T} B)^{- 1} x + (C^{T} C)^{- 1} x,

$P_a^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} x,$

nhân

P_{m}^{- 1} x = = (B^{T} B)^{- 1} x + (C^{T} C)^{- 1} (x - Một (B^{T} B)^{- 1} x),

$P_m^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} \Big(x - A (B^T B)^{-1} x \Big),$

hoặc nhân đối xứng. Các phương thức của lớp này có sẵn trong PETSc bằng PCCOMPOSITE trong PETSc. Ví dụ,

petsc/src/ksp/ksp/examples/tutorials$ ./ex2 -m 100 -n 100 -ksp_monitor \ -pc_type composite -pc_composite_type multiplicative \ -pc_composite_pcs ilu,gamg 0 KSP Residual norm 7.088415699389e+01 1 KSP Residual norm 1.271768323411e+01 2 KSP Residual norm 1.529853612054e+00 3 KSP Residual norm 1.214841683459e-01 4 KSP Residual norm 8.341606406485e-03 5 KSP Residual norm 6.471990946051e-04 6 KSP Residual norm 8.082672366030e-05 7 KSP Residual norm 6.111138513482e-06 Norm of error 6.93786e-06 iterations 7

Các tay người dùng có một phần về "Kết hợp Preconditioners".

— Jed Brown
nguồn

Tuyệt vời cảm ơn bạn! Bạn có biết về bất kỳ lý thuyết hoặc bài báo nào thảo luận về các điều kiện theo đó các kết hợp này sẽ có hiệu quả hoặc không hiệu quả, hoặc nó chỉ là quá nhiều thử nghiệm và sai sót?

— Nick Alger

Như với tất cả các điều kiện tiên quyết, phân tích là về mặt phổ của toán tử tiền điều kiện, thường được thể hiện thông qua một vấn đề eigenvalue tổng quát. Theo trực giác, nếu mỗi điều kiện tiên quyết nhắm vào các quá trình khác nhau hoặc các phần khác nhau của quang phổ, mục đích của sự kết hợp là điều chỉnh cả hai phần. Hầu hết các cách tiếp cận thành công của lớp này đều dựa trên hiệu chỉnh không gian con, bao gồm đa biến, phân tách miền và phân tách trường (tài liệu cho từng loại). PETSc có nhiều điều kiện tiên quyết chuyên biệt hơn để phơi bày song song hoặc tái sử dụng các kết quả trung gian trong những trường hợp này.

— Jed Brown

1

Ngoài câu trả lời xuất sắc của Jed, một phương pháp tôi đã tìm thấy gần đây là chuyển đổi giữa các điều kiện tiên quyết từng bước khác trong GMRES linh hoạt (FGMRES), ví dụ như được thực hiện trong

Tezduyar, TE, et al. "Một phương pháp tiền điều phối hỗn hợp mới cho các tính toán phần tử hữu hạn." Phương pháp máy tính trong Cơ học và Kỹ thuật ứng dụng 99.1 (1992): 27-42. http://reposeective.ias.ac.in/24680/1/320.pdf

— Nick Alger
nguồn