Tích hợp xuyên tâm của chức năng đắt tiền với trọng lượng Bessel

Tôi cần phải tính toán tích phân

Trong đó là thứ tự n t h Các hàm Bessel loại thứ nhất, z n m là m t h zero và f ( r ) là một hàm thực có phần giống với J n (nhưng không giống nhau, nó khá giống nhau phức tạp và thường liên quan đến các điều khoản với J 2 n và đôi khi exp ( J n ) ).$J_n$$n^{\mathrm{th}}$$z_{nm}$$m^{\mathrm{th}}$$f(r)$$J_n$$J_n^2$$\exp(J_n)$

Vì rất đắt và tích phân này phải được đánh giá rất nhiều lần, tôi đang tìm phương pháp số tốt nhất (rất nhanh, nhưng vẫn chính xác hợp lý) để giải quyết nó. Hiện tại, tôi đang sử dụng quy tắc hình thang với 11 điểm. Nhưng tôi đang nghiên cứu các phương pháp khác, chẳng hạn như ClenshawTHER Curtis và GaussTHER Kronrod (với thứ tự thấp).$f(r)$

Nhưng tôi tự hỏi liệu có một phương pháp nào đặc biệt phù hợp với các tích phân như vậy hay không, đặc biệt là nó tương tự như các phương pháp cần thiết để tính toán các phép biến đổi Hankel.

Đối với biến đổi Hankel, người ta có thể phân loại các phương thức thành bốn nhóm chính:

1. Số bậc hai dựa trên.
2. Những người dựa trên Fourier.
3. Sự mở rộng tiệm cận của Bessel thành sin và cosin.
4. Phương pháp chiếu cắt lát.

Bài viết sau đây cung cấp một cái nhìn tổng quan đẹp về các phương thức này (các loại phương pháp):

• MJ Cree và PJ Bones, "Thuật toán đánh giá số lượng biến đổi Hankel," Comp. Môn Toán. Táo. , tập 26, không 1, trang 1 Vang12, tháng 7 năm 1993 .

Theo bài báo này (trang 3, mục 4):

Nhược điểm chính của quy tắc hình thang là hiệu quả tính toán kém. ... phương pháp hình thang được tìm thấy hầu như luôn đáng tin cậy như bất kỳ phương pháp nào khác được thử nghiệm. ... Chúng tôi thấy nó hữu ích như một điểm chuẩn để kiểm tra các thuật toán hiệu quả hơn.

Vì vậy, hai hướng là có thể:

1. Hoặc tìm một quy tắc bậc hai số hiệu quả hơn.
2. Thực hiện theo cùng với hướng biến đổi giống như Hankel.

$n$$f(r)$$f(r)$$f(r)$

$f(r)$

• R. Barakat và E. Parshall, "Đánh giá số lượng về phép biến đổi Hankel không thứ tự sử dụng triết lý bậc hai Filon," Appl. Môn Toán. Lett. , tập 9, không 5, trang 21 Vang26, tháng 9 năm 1996.

Đối với hướng 2, tôi sẽ khuyên bạn nên thử phát triển một số dạng phương pháp chiếu hình . Cá nhân tôi không biết về một phương pháp sẵn sàng thuộc loại này được phát triển cho tích phân của bạn.

Các tài liệu tham khảo sau đây cũng có thể hữu ích (đối với phương trình bậc hai Filon):

• $0$

Một cách tiếp cận thú vị khác đáng để thử (tôi tình cờ thấy bài báo này là động lực chính để viết câu trả lời này) là áp dụng biến đổi Mellin. Tuy nhiên, nó có thể không có giá trị nếu nó yêu cầu quá nhiều đánh giá về$f(r)$ ở nơi đầu tiên:

• L. Knockaert, "Biến đổi nhanh Hankel bằng biến đổi sin và cosin nhanh: kết nối Mellin," IEEE Trans. Xử lý tín hiệu , tập. 48, không 6, trang 1695 181717, tháng 6 năm 2000.