Những bộ giải tuyến tính lặp nào hội tụ cho ma trận bán nguyệt dương?

Tôi muốn biết bộ giải tuyến tính cổ điển nào (ví dụ Gauss-Seidel, Jacobi, SOR) được đảm bảo hội tụ cho bài toán trong đó là bán xác định dương và dĩ nhiên $Ax=b$ $A$ $b \in im(A)$

(Lưu ý là bán xác định và không xác định) $A$

— olamundo
nguồn

Bạn có nghĩa là ma trận bán xác định tích cực?

— meawoppl

Việc sử dụng giải hệ phương trình tuyến tính với ma trận như vậy là gì? Nếu tôi không nhầm, nếu ma trận bán chính xác dương của bạn là số ít thì nó chỉ đơn giản là xác định dương.

— faleichik

Vâng tôi chắc chắn. Tôi phải làm mới bộ nhớ của mình như bằng chứng thực tế, nhưng theo những gì bạn đang nói - nếu mẫu số trong phép tính của

bằng 0, điều đó có nghĩa là

bằng 0, có nghĩa là tất cả các "hướng tìm kiếm" trong đó A không phải là số ít đã cạn kiệt và phần còn lại bạn không ở trong khoảng A (và do đó đây là giải pháp "tối ưu"). Trong trường hợp trên thực tế

, điều này sẽ không xảy ra vì phần dư sẽ về 0 ngay trước lần đầu tiên

α

$\alpha$

A P_{k}

$A P_k$

b \in s p a n (A)

$b \in span(A)$

A P_{k} = 0

$AP_k=0$

— olamundo

Đặt

. Khi đó

. CG sẽ hội tụ do

cho tất cả

. Nói cách khác, bạn không bao giờ rời khỏi

mà

là dương-xác định.

x_{0} = b

$x_0=b$

A^{n} b \in I m (A)

$A^nb\in Im(A)$

x_{n}^{*} A x_{n} > 0

$x_n^\ast Ax_n> 0$

0 \neq x_{n} \in I m (A)

$0\ne x_n\in Im(A)$

I m (A)

$Im(A)$

A

$A$

— Deathbreath

@faleichik: ma trận mật độ giảm trong cơ học lượng tử là bán xác định dương trong rất nhiều trường hợp.

— Deathbreath

Câu trả lời:

Thuật toán gradient liên hợp hoạt động cho các vấn đề semidefinite và tạo ra giải pháp định mức tối thiểu.

— Arnold Neumaier
nguồn

cảm ơn. Bất kỳ ý tưởng nào về người giải quyết "cổ xưa", ví dụ SOR Gauss-Seidel, v.v.

— olamundo

Chúng hầu như không bao giờ được sử dụng nữa và tôi không biết những hành vi này như thế nào.

— Arnold Neumaier

Để làm rõ: CG chắc chắn không hoạt động ở dạng vanilla cho ma trận bán xác định; nó có thể hoạt động trên lý thuyết nếu B nằm trong ảnh của A; nhưng điều này không có khả năng kết thúc tốt trong thực hành số. MINRES dựa trên krylov rất giống nhau là một lựa chọn tốt hơn nhiều ở đây. Ngoài ra, các bộ giải "cổ xưa" này được sử dụng rộng rãi trong các bộ giải đa loại, để đặt tên cho một ví dụ.

— Eelco Hoogendoorn

$b$ $A$

Điều tương tự cũng không đúng với Jacobi; đó là một sự xấu hổ vì ai muốn làm phiền với Gauss-Seidel trên phần cứng máy tính hiện đại? Nếu vấn đề của bạn có thể được chia thành các khối chiếm ưu thế theo đường chéo, bạn là người may mắn; bạn có thể áp dụng các bản cập nhật Jacobi cho các khối đó theo kiểu Gauss-Seidel gia tăng và tận dụng tốt nhất cả hai cho các loại vấn đề bán xác định này.

— Eelco Hoogendoorn
nguồn