Multigrid tăng tốc Krylov (sử dụng MG làm tiền đề) được thúc đẩy như thế nào?

Multigrid (MG) có thể được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách xây dựng dự đoán ban đầu x 0 và lặp lại các điều sau cho i = 0 , 1 .. cho đến khi hội tụ:$Ax=b$$x_0$$i=0,1..$

1. Tính số dư $r_i = b-Ax_i$
2. Áp dụng một chu trình đa biến để đạt được xấp xỉ , trong đó A e i = r i .$\Delta x_i \approx e_i$$Ae_i = r_i$
3. Cập nhật $x_{i+1} \gets x_i + \Delta x_i$

Chu trình multigrid là một số chuỗi làm mịn, nội suy, hạn chế và các hoạt động giải quyết lưới thô chính xác được áp dụng cho để tạo ra Δ x i . Đây thường là chu kỳ V hoặc chu kỳ W. Đây là một hoạt động tuyến tính vì vậy chúng tôi viết Δ x i = B r i .$r_i$$\Delta x_i$$\Delta x_i = B r_i$

Người ta có thể diễn giải quá trình này như là lặp đi lặp lại tiền điều kiện. Đó là, chúng tôi cập nhật .$x_{i+1} \gets x_i + B r_i$

Lặp đi lặp lại là một phương pháp không gian con Krylov nguyên mẫu, trong đó gợi ý sử dụng các chu trình đa biến để tiền điều kiện cho các phương pháp không gian con Krylov khác. Điều này đôi khi được gọi là multigrid "tăng tốc" bằng phương pháp Krylov, hoặc thay thế có thể được xem là sự lựa chọn của một điều kiện tiên quyết cho phương pháp Krylov.

Một cách khác để mở rộng thuật toán ở trên là sử dụng Full Multigrid (FMG). Xem câu trả lời này cho một mô tả ngắn gọn.

Trong trường hợp nào thì MG tăng tốc Krylov thích hợp hơn MG hay FMG?

$b-Ax$

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp thực tế, phương pháp multigrid tối ưu hoặc hiệu quả không được sử dụng. Điều này có thể là do

• phương pháp như vậy là không xác định hoặc không có sẵn cho vấn đề nhất định
• làm mịn và toán tử intergrid là không đủ để hội tụ sách giáo khoa
• bộ giải lưới thô không chính xác

$BA$

Lưu ý rằng lựa chọn sử dụng phương pháp tối ưu có thể dẫn đến một chu kỳ đa lượng "rẻ hơn", đến mức mà gia tốc Krylov được đền đáp. Đó là, có thể có vấn đề (và hệ thống máy tính) trong đó MG tăng tốc Krylov có thể vượt trội hơn MG. Tôi sẽ quan tâm đến việc tìm một ví dụ cụ thể về điều này.

(Cảm ơn @chris ở trên và Matt Knepley đã đề cập đến một số điều ở trên trong một hướng dẫn)