Điều kiện biên định kỳ cho phương trình nhiệt trong] 0,1 [

Chúng ta hãy xem xét một điều kiện ban đầu trơn tru và phương trình nhiệt theo một chiều: trong khoảng mở , và chúng ta giả sử rằng chúng ta muốn giải quyết nó bằng số với sự khác biệt hữu hạn.] 0 , 1

$$\partial_t u = \partial_{xx} u$$ $]0,1[$

Tôi biết rằng để vấn đề của mình được đặt ra, tôi cần phải cung cấp cho nó các điều kiện biên tại và . Tôi biết rằng Dirichlet hoặc Neumann hoạt động tốt.x = $x=0$$x=1$

Nếu tôi có trong trường hợp đầu tiên điểm bên trong cho , thì tôi có ẩn số: cho , bởi vì được quy định tại các ranh giới.x k = $N$ k=1,⋯,NNuk=u(xk)k=1,⋯,N$x_k=\frac{k}{N+1}$$k=1,\cdots,N$$N$$u_k=u(x_k)$$k=1,\cdots,N$$u$

Trong trường hợp thứ hai, tôi thực sự có ẩn số và tôi biết cách sử dụng Neumann BC (đồng nhất) để phân biệt laplacian ở viền, ví dụ như điều chỉnh hai điểm hư cấu và và các đẳng thức:$N+2$$u_0,\cdots,u_{N+1}$$x_{-1}$$x_{N+2}$

$$\frac{u_1-u_{-1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N+2}-u_N}{2 h}$$

Câu hỏi của tôi là về BC định kỳ. Tôi có cảm giác rằng tôi có thể sử dụng một phương trình, cụ thể là nhưng có thể là hai, và sau đó tôi sẽ sử dụng

$$u(0) = u(1)$$ $$\partial_x u(0) = \partial_x u(1)$$

nhưng tôi không chắc Tôi cũng không biết mình nên có bao nhiêu điều chưa biết. Có phải là không?$N+1$

Cách tốt nhất để làm điều này là (như bạn đã nói) chỉ sử dụng định nghĩa về các điều kiện biên định kỳ và thiết lập chính xác các phương trình của bạn ngay từ đầu bằng cách sử dụng thực tế là . Trong thực tế, thậm chí mạnh hơn, các điều kiện biên định kỳ xác định với . Vì lý do này, bạn chỉ nên có một trong những điểm này trong miền giải pháp của mình. Một khoảng mở không có ý nghĩa khi sử dụng các điều kiện biên định kỳ vì không có ranh giới .x = 0 x = 1$u(0)=u(1)$$x=0$$x=1$

Thực tế này có nghĩa là bạn không nên đặt một điểm tại vì nó giống với . Phân biệt với điểm, sau đó bạn sử dụng thực tế là theo định nghĩa, điểm ở bên trái của là và điểm ở bên phải của là .x = 0 N + 1 x 0 x N x N x 0$x=1$$x=0$$N+1$$x_0$ $x_N$$x_N$ $x_0$

PDE của bạn sau đó có thể được rời rạc trong không gian dưới dạng

$$\frac{\partial}{\partial t} \left[\begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_N \end{array}\right] = \frac{1}{\Delta x^2} \left[\begin{array}{c} x_N - 2x_0 + x_1 \\ x_0 - 2x_1 + x_2 \\ \vdots \\ x_{N-1} - 2x_N + x_0 \end{array}\right]$$

Điều này có thể được viết dưới dạng ma trận dưới dạng trong đó Một=[ - 2 1 0 ⋯ 0 1 1 - 2 1 0 ⋯

$$\frac{\partial}{\partial t}\vec{x} = \frac{1}{\Delta x^2} \mathbf{A} \vec{x}$$ $$\mathbf{A} = \left[\begin{array}{c} -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ && \ddots & \ddots & \ddots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].$$

Tất nhiên không cần phải thực sự tạo hoặc lưu trữ ma trận này. Sự khác biệt hữu hạn nên được tính toán một cách nhanh chóng, chú ý xử lý các điểm đầu tiên và cuối cùng đặc biệt khi cần thiết.

Ví dụ đơn giản, tập lệnh MATLAB sau đây giải quyết với các điều kiện biên định kỳ trên miền . Giải pháp được sản xuất được sử dụng, nghĩa là . Tôi đã sử dụng chuyển tiếp thời gian Euler để đơn giản hóa và tính toán giải pháp cả có và không tạo thành ma trận. Các kết quả được hiển thị dưới đây.x ∈ [ - 1 , 1 ) u Ref ( t , x ) = exp ( - t ) cos ( 5 π x ) b ( t , x ) = ( 25 π 2 - 1 ) điểm kinh nghiệm ( -

$$\partial_t u = \partial_{xx}u + b(t,x)$$ $x\in[-1,1)$$u_\text{Ref}(t,x) = \exp(-t)\cos(5\pi x)$$b(t,x) = (25\pi^2-1)\exp(-t)\cos(5\pi x)$

clear

% Solve: u_t = u_xx + b
% with periodic boundary conditions

% analytical solution:
uRef = @(t,x) exp(-t)*cos(5*pi*x);
b = @(t,x) (25*pi^2-1)*exp(-t)*cos(5*pi*x);

% grid
N = 30;
x(:,1) = linspace(-1,1,N+1);

% leave off 1 point so initial condition is periodic
% (doesn't have a duplicate point)
x(end) = [];
uWithMatrix = uRef(0,x);
uNoMatrix = uRef(0,x);

dx = diff(x(1:2));
dt = dx.^2/2;

%Iteration matrix:
e = ones(N,1);
A = spdiags([e -2*e e], -1:1, N, N);
A(N,1) = 1;
A(1,N) = 1;
A = A/dx^2;

%indices (left, center, right) for second order centered difference
iLeft = [numel(x), 1:numel(x)-1]';
iCenter = (1:numel(x))';
iRight = [2:numel(x), 1]';

%plot
figure(1)
clf
hold on
h0=plot(x,uRef(0,x),'k--','linewidth',2);
h1=plot(x,uWithMatrix);
h2=plot(x,uNoMatrix,'o');
ylim([-1.2, 1.2])
legend('Analytical solution','Matrix solution','Matrix-free solution')
ht = title(sprintf('Time t = %0.2f',0));
xlabel('x')
ylabel('u')
drawnow

for t = 0:dt:1
    uWithMatrix = uWithMatrix + dt*( A*uWithMatrix + b(t,x) );
    uNoMatrix = uNoMatrix + dt*(  ( uNoMatrix(iLeft) ...
                                - 2*uNoMatrix(iCenter) ...
                                  + uNoMatrix(iRight) )/dx^2 ...
                                + b(t,x) );
    set(h0,'ydata',uRef(t,x))
    set(h1,'ydata',uWithMatrix)
    set(h2,'ydata',uNoMatrix)
    set(ht,'String',sprintf('Time t = %0.2f',t))
    drawnow
end

Theo đó, bạn nên áp đặt các điều kiện biên định kỳ như:

$$\begin{equation} u(0, t) = u(1, t) \\ u_x(0, t) = u_x(1, t) \end{equation}$$

Một cách để loại bỏ phương trình nhiệt một cách ngầm định sử dụng Euler lạc hậu là

$$\begin{equation} \frac{u^{n+1}-u_{n}}{\Delta t}= \frac{u^{n+1}_{i+1}-2u^{n+1}_{i}+u^{n+1}_{i+1}}{\Delta x^2} \end{equation}$$

Giải hệ phương trình

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_1 \\ \vdots \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u^n_1 \\ u^n_2 \\ \vdots \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$$

Trong đó

$$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & 1 & -2& 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1& -2 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 & -2 & \ldots & 0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\ddots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots &0 &1 &-2 \end{bmatrix} \end{equation}$$

Điều kiện biên định kỳ của bạn có thể được bao gồm bằng cách thêm hai phương trình và hai ô (ma) bổ sung và sao cho:$u_{0}$$u_{N+1}$

$$\begin{equation} u_1 - u_{N} = 0 \\ \frac{u_{2}-u_{0}}{2 \Delta x} - \frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{2 \Delta x} = 0 \end{equation}$$

Theo Mục 2.11 LeVeque, điều này mang lại cho bạn độ chính xác bậc 2 cho$u_x$

Cuối cùng, hệ phương trình của bạn sẽ giống như:

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 0 & -1 \\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_{0}\\ u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \\ u^{n+1}_{N+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ u^n_1 \\ u^n_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$$

Cung cấp cho bạn phương trình N + 2 và ẩn số N + 2.

Bạn cũng có thể thoát khỏi phương trình đầu tiên và các ô ma và đến một hệ thống N phương trình và N ẩn số.