Giá trị riêng nhỏ nhất mà không nghịch đảo

Giả sử $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ là một đối xứng, ma trận xác định dương. $A$ đủ lớn để giải quyết trực tiếp $Ax=b$ .

Có một thuật toán lặp để tìm giá trị riêng nhỏ nhất của $A$ không liên quan đến đảo ngược $A$ trong mỗi lần lặp không?

Đó là, tôi phải sử dụng một thuật toán lặp như độ dốc liên hợp để giải $Ax=b$ , vì vậy việc áp dụng liên tục $A^{-1}$ có vẻ như là một "vòng lặp bên trong" đắt tiền. Tôi chỉ cần một eigenvector duy nhất.

Cảm ơn!

— Justin Solomon
nguồn

Bạn đã thử sử dụng phân tách Cholesky? Bạn phải đưa yếu tố

A

$A$ vào

L L^{T}

$L L^T$ với

L

$L$ là ma trận tam giác. Một khi bạn có hệ số hóa (bạn chỉ làm điều này một lần), bạn có thể sử dụng nó trong mỗi lần lặp để giải quyết hệ thống rất nhanh bằng cách thay thế tiến và lùi.

— Juan M. Bello-Rivas

Là một ma trận thưa thớt?

— Birdga Tolga

A

$A$

Nếu bạn đang sử dụng matlab hoặc octave, hãy sử dụng eigs-routine. Đây là một phương pháp lặp đi lặp lại. Có các tùy chọn để chỉ định giá trị riêng nào bạn muốn, ví dụ như thực nhỏ nhất .

— sebastian_g

A

$A$

A

$A$

$\lambda_{max}$ $A$ eigs('lm')
$\hat{\lambda}_{max}$ $M = A - \lambda_{max}I$ eigs('lm')
$\hat{\lambda}_{max} + \lambda_{\max} = \lambda_{min}(A)$
Tìm eigenvector của bạn bằng cách giải . $v$ $(A - \lambda_{min} I) v = 0$

— GoHokies
nguồn