Sự hội tụ không đơn điệu trong bài toán điểm cố định

Lý lịch

Tôi đang giải một biến thể của phương trình Ornstein-Zernike từ lý thuyết lỏng. Tóm lại, bài toán có thể được biểu diễn dưới dạng giải bài toán điểm cố định , trong đó là toán tử tích phân đại số và là hàm giải pháp (hàm tương quan trực tiếp OZ). Tôi đang giải quyết bằng cách lặp Picard, nơi tôi cung cấp giải pháp dùng thử ban đầu và tạo các giải pháp dùng thử mới theo sơ đồ trong đó là một tham số có thể điều chỉnh để điều khiển hỗn hợp của vàA c ( r ) c 0 ( r ) c j + 1 = α ( A c j ) + ( 1 - α ) c j , α c A $A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$được sử dụng trong các giải pháp thử nghiệm tiếp theo. Đối với cuộc thảo luận này, hãy giả sử rằng giá trị của là không quan trọng. Tôi lặp lại cho đến khi phép lặp hội tụ trong phạm vi dung sai mong muốn, : Trong biến thể của vấn đề, phụ thuộc vào tham số và câu hỏi của tôi là về cách thức hội tụ của phụ thuộc vào tham số này.ε delta j + 1 ≡ ∫ d → r | c j + 1 ( r ) - c j ( r ) | < Ε . A λ A c = $\alpha$$\epsilon$ $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

Đối với một loạt các giá trị cho , sơ đồ lặp ở trên hội tụ nhanh theo cấp số nhân. Tuy nhiên, khi tôi giảm , cuối cùng tôi cũng đạt được một chế độ trong đó sự hội tụ là không đơn điệu, hình dưới đây. $\lambda$$\lambda$

Câu hỏi chính

Trong các giải pháp lặp cho các vấn đề điểm cố định, sự hội tụ không đơn điệu có bất kỳ ý nghĩa đặc biệt nào không? Liệu nó có báo hiệu rằng sơ đồ lặp đi lặp lại của tôi đang trên bờ vực không ổn định? Quan trọng nhất , sự hội tụ không đơn điệu có khiến tôi nghi ngờ rằng giải pháp "hội tụ" không phải là một giải pháp tốt cho vấn đề điểm cố định?

Giả sử là biến độc lập chưa biết trong giải pháp của , thì phương thức điểm cố định sẽ hội tụ từ một điểm với điều kiện Jacobian , trong đó là hằng số . Nói chung không phải là một điểm duy nhất, mà là miền đi qua sơ đồ lặp.x = f ( x ) x ∗ ∂ $x$$x=f(x)$$x^*$alpha<1x$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. Giải pháp của bạn là hội tụ, mặc dù không đơn điệu. Kiểm tra Jacobian của bạn để biết các giá trị khác nhau của và biến giải pháp để xem bạn có đi từ thỏa mãn tiêu chí hội tụ đến không thỏa mãn nó hay không, điều này có thể giải thích những gì bạn đang thấy.$\lambda$

2. Nếu giải pháp của bạn đã hội tụ trong một dung sai tương đối được thiết lập đúng, cũng chiếm số lượng nhỏ, thì nó có.