Lưu vực hấp dẫn cho phương pháp của Newton

9

Phương pháp của Newton để giải các phương trình phi tuyến được biết là hội tụ bậc hai khi phỏng đoán bắt đầu là "đủ gần" với giải pháp.

"Đủ gần" là gì?

Có tài liệu về cấu trúc của lưu vực hấp dẫn này?

iterative-method convergence nonlinear-equations

— David Ketcheson
nguồn

Các gốc nên được cách ly (không phải nhiều). Nếu Hessian xác định đồng nhất (lõm lên hoặc xuống) trong khu vực, bạn nên đi. Tất nhiên đảm bảo hoặc kiểm tra các điều kiện này theo kinh nghiệm thường là không thực tế.

— hardmath

Tôi đã thấy câu hỏi trong NA-Digest ngày khác và nghĩ rằng nó hấp dẫn. Rõ ràng tôi không phải là người duy nhất :-)

— Wolfgang Bangerth

8

Đối với một phương trình hợp lý duy nhất trong miền phức, lưu vực thu hút là fractal, sự kết hợp của cái gọi là Julia. http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set . Đối với lý thuyết với một số số liệu trực tuyến tốt đẹp, hãy xem, ví dụ:
http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf
http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdf

Ngay cả phương pháp Newton được làm ẩm '' toàn cầu hóa 'cho cũng có một lưu vực hấp dẫn; xem http://www.jstor.org/ sóng ổn định.2.200/2653002 . $x^3-1=0$

Do đó, có rất ít điểm trong việc chỉ định chi tiết những gì "đủ gần" với giải pháp. Nếu người ta biết giới hạn của các đạo hàm thứ hai, có định lý Newton - Kantorovich đưa ra các giới hạn thấp hơn trên bán kính của một quả bóng trong đó phương pháp của Newton hội tụ, nhưng ngoại trừ trong 1D, những điều này có xu hướng khá bi quan.

Giới hạn tính toán có thể có được bằng cách sử dụng số học khoảng; xem, ví dụ, bài báo của tôi
Shen Zuhe và A. Neumaier, Nhà điều hành Krawchot và định lý của Kantorovich, J. Math. Hậu môn. Táo. 149 (1990), 437-443.
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf

— Arnold Neumaier
nguồn

x^{3} - 1 = 0

$x^3 - 1 = 0$

x > 0

$x > 0$

x > 1

$x > 1$

1

@hardmath: có, nhưng phương trình phức tạp trở thành hai phương trình thực trong 2 biến, áp dụng tương tự.

— Arnold Neumaier

4

"Đủ gần" rất khó để mô tả xem xét rằng nó làm phát sinh một lớp fractals . Các phương pháp của Newton với các chiến lược toàn cầu hóa như tìm kiếm dòng và khu vực tin cậy mở rộng lưu vực thu hút. Nếu cấu trúc vấn đề bổ sung có sẵn, chẳng hạn như trong tối ưu hóa, các giả định cần thiết cho sự hội tụ có thể bị suy yếu thêm.

— Jed Brown
nguồn

Chỉ vì tò mò, bạn có ví dụ nào cho "Nếu cấu trúc vấn đề bổ sung có sẵn, chẳng hạn như trong tối ưu hóa, các giả định cần thiết cho sự hội tụ có thể bị suy yếu thêm."?

— vanCompute

@vanCompute Xem ví dụ này để biết ví dụ liên quan đến tối ưu hóa, trong đó chức năng đối tượng cung cấp thông tin bị mất trong điều kiện tối ưu hóa thứ tự đầu tiên. Một dạng khác sẽ là kiến thức rằng một sự tiếp nối nhất định (giả ngẫu nhiên, tham số, lưới, v.v.) luôn hội tụ, nhưng phần dư có thể phải tăng trước khi tiếp cận giải pháp nếu một người cố gắng giải quyết vấn đề trực tiếp.

— Jed Brown

3

Có một số kết quả hữu ích cho phương pháp của Newton được áp dụng cho các đa thức phức tạp.

$f$

r = = \frac{η}{2 d}

$r=\frac{\eta}{2d}$

η

$\eta$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

Các giới hạn rõ ràng khác được đưa ra bởi Anthony Manning trong Làm thế nào để chắc chắn tìm ra gốc của một đa thức phức tạp bằng phương pháp của Newton (Định lý 1.2).

Xem thêm Cách tìm tất cả các gốc đa thức phức tạp theo phương pháp của Newton bởi Hubbard et al.
Phát minh. Môn Toán. 146 (2001), số 1, 1 bóng33. pdf

— lhf
nguồn

Chuyển thể từ math.stackexchange.com/a/1038487/589 .

— lhf