Tại sao ghim một điểm để loại bỏ một không gian null xấu?

Một phương trình Poisson với tất cả các điều kiện biên Neumann có một không gian null chiều không đổi duy nhất. Khi giải quyết thông qua phương pháp Krylov, không gian null có thể được loại bỏ bằng cách trừ đi giá trị trung bình của giải pháp mỗi lần lặp hoặc bằng cách ghim giá trị của một đỉnh đơn.

Ghim một đỉnh duy nhất có lợi ích của sự đơn giản và cũng tránh được việc giảm toàn cầu thêm trên mỗi phép chiếu. Tuy nhiên, nó thường được xem là xấu do ảnh hưởng của nó đối với điều hòa. Do đó, tôi luôn bị trừ phương tiện.

Tuy nhiên, hai phương thức khác nhau nhiều nhất là hiệu chỉnh bậc 2, do đó, theo (1) chúng nên hội tụ gần như cùng số lần lặp (ít nhất là trong số học chính xác). Là lý do này chính xác, hoặc có một lý do bổ sung rằng ghim điểm là xấu (có lẽ số học không chính xác)?

(1): Làm thế nào để sửa đổi thứ hạng thấp ảnh hưởng đến sự hội tụ phương pháp Krylov?

Đối số của bạn áp dụng một cách tự nhiên cho trường hợp không phân biệt. Lý do mà tôi không khuyên bạn nên ghim là vì nó gây nhầm lẫn các quy tắc và điều kiện tiên quyết. Nếu bạn biết kích thước của một giá trị đường chéo điển hình, bạn có thể chia tỷ lệ phương trình tầm thường cho nút được ghim để các định mức trở nên hợp lý trở lại.

Để thấy hậu quả của điều kiện tiên quyết, chúng ta phải phân biệt giữa các phương pháp khác nhau để thực thi ghim. Tôi xem xét hai trong số phổ biến nhất.

1. Nếu việc ghim đạt được bằng cách "zeroing a row" (đặt một hàng bằng với một hàng có tỷ lệ của danh tính), thì nó đưa ra sự bất đối xứng hạn chế sự lựa chọn của phương pháp Krylov và có thể nhầm lẫn các điều kiện tiên quyết (ví dụ: đa đại số chọn một tổng số kém).
2. Nếu cột tương ứng cũng bằng 0 (với phần đóng góp "nhấc" sang phía bên tay phải), hiệu ứng này khá lành tính.

Lưu ý rằng các toán tử nội suy cho multigrid có thể phải được điều chỉnh để thực hiện ghim theo cách tương thích trên mỗi cấp. Nếu bạn không quan tâm đến sự phức tạp được giới thiệu bằng cách thực hiện ghim với tỷ lệ tốt, thì đó là một cách tiếp cận tốt. Trong hầu hết các trường hợp, chúng tôi thấy rằng việc thực hiện ghim theo cách không gây khó chịu và dễ bị lỗi hơn là cung cấp không gian gần như không có lỗi. Bằng cách có ma trận gốc (số ít) xung quanh, thư viện bộ giải cũng có thể xác minh rằng không gian null được cung cấp thực sự là một không gian rỗng, do đó bảo vệ chống lại một lỗi phổ biến.