Các chiến lược cho Phương pháp của Newton khi Jacobian ở giải pháp là số ít

Tôi đang cố gắng giải hệ phương trình sau cho các biến và x 2 (tất cả các hằng số khác):$P,x_1$$x_2$

$$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$$

Tôi có thể thấy rằng tôi có thể biến hệ phương trình này thành một phương trình đơn của một biến bằng cách giải phương trình 1 và 2 cho x 1 và x 2 tương ứng và thay thế chúng thành phương trình 3. Khi làm như vậy, tôi có thể sử dụng lệnh của matlab để tìm giải pháp. Sử dụng các tham số k 1 = k 2 = 1 , r 1 = r 2 = 0,2 và A = 2 , tôi thấy giải pháp thực sự là P = x 1 = $(P)$$x_1$$x_2$fzero$k_1=k_2=1$$r_1=r_2=0.2$$A=2$ .$P=x_1=x_2=0.5$

Tuy nhiên, khi tôi sử dụng phương pháp newton của áp dụng với bản gốc 3 variate - 3 phương trình hệ thống, lặp đi lặp lại không bao giờ hội tụ về các giải pháp, bất kể khoảng cách giữa tôi bắt đầu với các giải pháp đúng . $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

Lúc đầu, tôi nghi ngờ lỗi của mình khi thực hiện phương pháp của newton. Sau khi kiểm tra nhiều lần, tôi thấy không có lỗi. Sau đó, tôi đã cố gắng sử dụng một đoán ban đầu , và lo & kìa: Jacobian là số ít. Tôi biết rằng một jacobian số ít có thể làm giảm thứ tự hội tụ, nhưng tôi không nghĩ rằng nó nhất thiết ngăn cản sự hội tụ đến giải pháp thực sự. $x_0=x^*$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là, Cho rằng jacobian của hệ thống tại giải pháp thực sự là số ít:

1. Những điều kiện nào khác là cần thiết để chứng minh rằng phương pháp của newton sẽ không hội tụ đến gốc?

2. Liệu một chiến lược toàn cầu hóa (ví dụ như tìm kiếm theo dòng) sẽ đảm bảo sự hội tụ mặc dù có Jacobian số ít?

(1): Điều này phụ thuộc vào hành vi của các dẫn xuất của Jacobian (sic!) Trong không gian rỗng của Jacobian tại giải pháp. Trong thực tế, không ai tính toán các dẫn xuất này và tôi thậm chí không buồn nhớ các điều kiện chính xác.

(2) hoạt động, mặc dù hội tụ chỉ là tuyến tính.

Để có được sự hội tụ siêu tuyến (ít nhất là trong phần lớn các trường hợp), người ta có thể sử dụng các phương pháp tenor. Xem, ví dụ,
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/ chỉ mục / X5G827367G548327.pdf

Thay vì tìm kiếm theo dòng, bạn có thể thử sửa đổi phương pháp Newton của mình thành thuật toán Levenberg-Marquest . Việc thực hiện đủ đơn giản nếu bạn đang sử dụng Matlab.