Sự hội tụ tiệm cận của dung dịch với pde parabol với dung dịch của pde elip

Giả sử tôi có hệ thống parabol với điều kiện biên Dirichlet và điều kiện ban đầu

{bạn}_{t} = = \nabla \cdot (k (x) \nabla bạn) + f, (x, t) \in Ω \times Tôi

$u_t=\nabla\cdot(k(x)\nabla u)+f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$

bạn = = g, x \in \partial Ω

$u=g, \quad x\in\partial\Omega$

bạn (x, t) = = h, t = = 0.

$u(x,t)= h,\quad t=0.$

Thông thường trong kỹ thuật, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hành vi tiệm cận (trạng thái ổn định) của PDE này hơn là hành vi nhất thời. Vì vậy, đôi khi chúng ta bỏ bê thời gian bắt nguồn từ hạn và giải quyết hệ thống elip thay thế. Giả định là theo thời gian vô hạn, .

- \nabla \cdot (k (x) \nabla bạn) = = f, (x, t) \in Ω \times Tôi

$-\nabla\cdot(k(x)\nabla u)=f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$

lim_{t \to \infty} {bạn}_{p một r một b o tôi Tôi c} (x, t) = = {bạn}_{e tôi tôi Tôi p t Tôi c} (x, t)

$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}(x,t)$

Tôi đã quan sát thấy rằng khi , giới hạn này là đúng, nhưng tôi không chắc đây là trường hợp tùy ý hay nếu có các điều kiện cần thiết khác để đảm bảo giới hạn này là đúng. Các điều kiện biên có phải hội tụ tiệm cận đến một giá trị không đổi để cho dung dịch parabol hội tụ đến dung dịch elip không? $f\equiv 0$ $f$

Mặc dù câu hỏi của tôi được đặt ra trong trường hợp liên tục, tôi cũng tò mò liệu các điều kiện tương tự có đúng với trường hợp rời rạc không. Đó là, giả sử tôi sử dụng sơ đồ sai phân hữu hạn ổn định và nhất quán để xấp xỉ và , tôi nên mong đợi nếu và bị rời rạc trên cùng một lưới không gian và ? $u_{\mathrm{parabolic}}$ $u_{\mathrm{elliptic}}$

lim_{t \to \infty} {bạn}_{p một r một b o tôi Tôi c}^{f d m} (x, t) = = {bạn}_{e tôi tôi Tôi p t Tôi c}^{f d m} (x, t)

$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}(x,t)$

u_{e l l i p t i c}^{f d m}

$u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}$

u_{p a r a b o l i c}^{f d m}

$u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}$

Δ t \to \infty

$\Delta t\rightarrow\infty$

— Paul
nguồn

Có, với các điều kiện biên Dirichlet, bạn luôn có sự hội tụ theo cấp số nhân với trạng thái ổn định. Bất kỳ cuốn sách PDE sẽ có một bằng chứng. Để có một lời giải thích hay từ góc độ số, hãy xem chương 2 của cuốn sách FDM của LeVeque.

— David Ketcheson
nguồn

Điều tương tự cũng đúng nếu có các điều kiện hỗn hợp (neumann và dirichlet), phải không?

— Paul

@Paul Có, trường hợp dính duy nhất trong 1D là khi cả hai ranh giới là Neumann.

— David Ketcheson