Viết ma trận sai phân phương trình hữu hạn với các điều kiện biên Neumann

Tôi quan tâm đến việc giải phương trình Poisson bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn. Tôi muốn hiểu rõ hơn về cách viết phương trình ma trận với các điều kiện biên Neumann. Ai đó sẽ xem lại những điều sau đây, nó có đúng không?

Ma trận sai phân hữu hạn

Phương trình Poisson,

\frac{\partial^{2} u (x)}{\partial x^{2}} = d (x)

$\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x)$

có thể được xấp xỉ bởi một phương trình ma trận sai phân hữu hạn,

\frac{1}{(Δ x)^{2}} M ∙ \hat{u} = \hat{d}

$\frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat u = \hat d$

nơi là một ma trận và và là (cột) vectơ, $\textbf{M}$ $n \times n$ $\hat u$ $\hat d$ $1 \times n$

Ma trận sai phân hữu hạn của phương trình Poisson

Thêm một điều kiện biên Neumann

Một điều kiện biên Neumann thực thi một thông lượng biết tại ranh giới (ở đây chúng tôi áp dụng nó ở phía bên trái nơi ranh giới nằm ở ), $x=0$

\frac{\partial u (x = 0)}{\partial x} = σ

$\frac{\partial u(x=0)}{\partial x} = \sigma$ viết điều kiện biên này như là một sự khác biệt hữu hạn trung tâm,

Lỗi trong phương trình. Lưu ý Ban đầu tôi đã mắc một lỗi ở đây, ký lỗi và không chia cho 2. Sau đây đã được sửa.

\frac{u_{2} - u_{0}}{2 Δ x} = σ

$\frac{u_2 - u_0}{2\Delta x} = \sigma$

Lưu ý giới thiệu điểm lưới bên ngoài miền gốc ( ). Thuật ngữ này có thể được loại bỏ bằng cách giới thiệu phương trình thứ hai, $u_0$

\frac{u_{0} - 2 u_{1} + u_{2}}{(Δ x)^{2}} = d_{1}

$\frac{u_0 - 2u_1 + u_2}{(\Delta x)^2} = d_1$

Các phương trình mảng từ có thêm thông tin vì sự ra đời của điểm lưới mới. Nó cho phép chúng ta viết đạo hàm kép của làm ranh giới theo bằng cách sử dụng một sự khác biệt hữu hạn trung tâm. $u_1$ $u_0$

Phần tôi không chắc chắn về

Kết hợp hai phương trình có thể được loại bỏ. Để hiển thị công việc, trước tiên hãy sắp xếp lại cho những điều chưa biết, $u_0$

{bạn}_{0} = = - 2 σ Δ x + {bạn}_{2} {bạn}_{0} = = (Δ x)^{2} d_{1} + 2 {bạn}_{1} - {bạn}_{2}

$u_0 = -2\sigma\Delta x + u_2 \\ u_0 = (\Delta x)^2 d_1 + 2 u_1 - u_2$

Tiếp theo chúng được đặt bằng nhau và được sắp xếp lại thành biểu mẫu,

\frac{{bạn}_{2} - {bạn}_{1}}{(Δ x)^{2}} = = \frac{d_{1}}{2} + \frac{σ}{Δ x}

$\frac{u_2 - u_1}{(\Delta x)^2} = \frac{d_1}{2} + \frac{\sigma}{\Delta x}$

Tôi chọn hình thức này vì nó là hình thức giống như phương trình ma trận ở trên. Chú ý rằng thuật ngữ này chia cho cả ở đây và trong phương trình ban đầu. Đây có phải là cách tiếp cận chính xác? $u$ $(\Delta x)^2$

Cuối cùng, sử dụng phương trình này làm hàng đầu tiên của ma trận,

Phương trình Poisson với điều kiện biên Neumann ở phía bên trái (đã sửa)

Một số suy nghĩ cuối cùng,

Là ma trận cuối cùng này có đúng không?
Tôi có thể sử dụng một cách tiếp cận tốt hơn?
Có một cách viết tiêu chuẩn của ma trận này?

— tẩy chay
nguồn

2 Δ x

$2 \Delta x$

u_{0} = - σ Δ x + u_{2}

$u_0 = - \sigma \Delta x + u_2$

Điều này được thực hiện khá độc đáo trong văn bản khác biệt hữu hạn của LeVeque , chương 2.

— David Ketcheson

Những vấn đề này cũng được cũng được giải thích trong scientificpython.net/1/post/2013/01/...

— Evgeni Sergeev

bạn có thể vui lòng xem scicomp.stackexchange.com/questions/14306/ cấp

— usumdelphini

Câu trả lời:

Tôi nghĩ rằng bạn đang đi đúng hướng. Nếu bạn sửa lỗi của mình, nó sẽ trông rất giống với http://www.math.toronto.edu/mpugh/Teaching/Mat1062/notes2.pdf .

— vanCompute
nguồn

Cảm ơn bạn đã bình luận và sửa chữa. Tôi đã cập nhật câu hỏi của tôi với sửa chữa. Tôi tin rằng nó là chính xác bây giờ.

— boyfarrell

$u_0$

Bước lại và suy nghĩ về vấn đề trong một giây. Chỉ định một phương trình Laplace về cơ bản nói rằng mỗi điểm là trung bình của các lân cận. Điều này thường được hình dung như một tấm cao su, và giúp tôi suy nghĩ về những điều này. (Poisson tương tự với các điểm co giãn nhiều hơn hoặc ít hơn)

Khi bạn chỉ định giá trị của bề mặt giải pháp ở các cạnh ngoài cùng, bạn sẽ "ghim" tờ xuống trong không gian tại các điểm đó. Khi bạn chỉ định trang tính theo đạo hàm của nó ở các cạnh, có bất kỳ số lượng giải pháp nào thực hiện phương trình dịch các trang tính trong không gian trong khi vẫn duy trì hình dạng thực tế và do đó dẫn xuất.

$u_0 = 0$

— meawoppl
nguồn

Vì vậy, nói chung phương trình Poisson được giải với ít nhất một điều kiện biên Dirichlet, để có thể tìm ra một giải pháp duy nhất? Tôi đoán nó có ý nghĩa rằng các điều kiện biên Neumann chỉ có ý nghĩa khi bao gồm cả nguồn và chìm, nếu không thì có vô số giải pháp. Tuy nhiên, nếu tôi lấy phương trình khuếch tán thay vào đó, đôi khi các điều kiện biên Neumann được yêu cầu cho vật lý chính xác (ví dụ: không có thông lượng của đại lượng qua một ranh giới khi du / dx = 0). Đây là điều tôi thực sự quan tâm. Phương pháp trên có phải là cách tiếp cận đúng để áp dụng Neumann BCs không?

— boyfarrell

Bạn không thể áp dụng Neumann BCs ở tất cả các mặt của giấy. Nếu bạn làm như vậy, bạn sẽ không có một giải pháp duy nhất. Nó phải được ghim ít nhất ở một bên.

— vanCompute

@meawoppl: Làm thế nào để xác định điểm cố định trong khi thực hiện giải ma trận trực tiếp?

— jvriesem

Thông thường chỉ cần gán một điểm cho hằng số, bằng cách chỉ đặt một số hạng trong một hàng thành 1, số 0 còn lại và giá trị trên RHS tương ứng với mặt phẳng giải pháp bạn muốn xem.

— meawoppl