Lợi thế của multigrid so với các điều kiện tiên quyết phân rã miền và ngược lại là gì?

Điều này chủ yếu nhằm vào các PDE hình elip trên các miền lồi, để tôi có thể có được cái nhìn tổng quan về hai phương pháp.

Các phương thức phân rã miền đa cấp và đa cấp có nhiều điểm chung đến mức mỗi cái thường có thể được viết như một trường hợp đặc biệt của cái kia. Các khung phân tích có phần khác nhau, là kết quả của các triết lý khác nhau của từng lĩnh vực. Nói chung, các phương pháp multigrid sử dụng tốc độ thô vừa phải và các trình làm mịn đơn giản trong khi các phương pháp phân tách miền sử dụng các trình làm mịn cực nhanh và làm mịn mạnh .

Đa sắc thái (MG)

Multigrid sử dụng tốc độ thô vừa phải và đạt được sự mạnh mẽ thông qua sửa đổi nội suy và làm mịn. Đối với các vấn đề elip, các toán tử nội suy phải là "năng lượng thấp", sao cho chúng bảo toàn không gian gần như rỗng của toán tử (ví dụ: các chế độ thân cứng). Một cách tiếp cận hình học ví dụ cho các phép nội suy năng lượng thấp này là Wan, Chan, Smith (2000) , so sánh với việc xây dựng đại số của tập hợp được làm mịn Vaněk, Mandel, Brezina (1996) (triển khai song song trong ML và PETSc qua PCGAMG, thay thế cho Prometheus ) . Cuốn sách của Trottenberg, Oosterlee và Schüller là một tài liệu tham khảo tổng quát về các phương pháp Multigrid.

Hầu hết các máy làm mịn đa lớp liên quan đến thư giãn theo chiều, hoặc là cộng (Jacobi) hoặc nhân (Gauss Seidel). Chúng tương ứng với các vấn đề Dirichlet nhỏ (nút đơn hoặc phần tử đơn). Một số khả năng thích ứng quang phổ, độ mạnh và khả năng véc tơ có thể đạt được bằng cách sử dụng máy làm mịn Ch Quashev , xem Adams, Brezina, Hu, Tuminaro (2003) . Đối với các vấn đề không đối xứng (ví dụ như vận chuyển), các bộ làm mịn nhân như Gauss-Seidel thường là cần thiết và có thể sử dụng phép nội suy ngược dòng. Ngoài ra, có thể xây dựng các bộ làm mịn cho điểm yên và các vấn đề sóng cứng bằng cách chuyển đổi thông qua "tiền điều khiển khối" lấy cảm hứng từ Schur hoặc "thư giãn phân tán" có liên quan, thành các hệ thống trong đó các bộ làm mịn đơn giản có hiệu quả.

Hiệu quả đa văn bản trong sách giáo khoa đề cập đến việc giải quyết lỗi phân tách trong một bội số nhỏ của chi phí của một vài đánh giá còn lại, chỉ có bốn, trên lưới mịn. Điều này ngụ ý rằng số lần lặp đến dung sai đại số cố định giảm xuống khi số cấp tăng lên. Song song, ước tính thời gian liên quan đến một thuật ngữ logarit phát sinh do đồng bộ hóa được ngụ ý bởi hệ thống phân cấp đa cấp.

Phân rã tên miền (DD)

Các phương thức phân rã miền đầu tiên chỉ có một cấp độ. Không có mức độ thô, số điều kiện của toán tử tiền điều kiện có thể nhỏ hơn trong đóLlà đường kính của miền vàHlà kích thước tên miền phụ danh nghĩa. Trong thực tế, số điều kiện cho DD một cấp nằm giữa giới hạn này vàO(L$\mathcal O\big( \frac{L^2}{H^2}\big)$$L$$H$trong đóhlà kích thước phần tử. Lưu ý rằng số lần lặp cần thiết của phương pháp Krylov chia tỷ lệ là căn bậc hai của số điều kiện. Các phương pháp Schwarz được tối ưu hóa(Gander 2006)cải thiện các hằng số và sự phụ thuộc vàoH/hso với các phương pháp Dirichlet và Neumann, nhưng nói chung không bao gồm các mức độ thô và do đó giảm dần trong trường hợp có nhiều tên miền phụ. Xem các cuốn sách củaSmith, Bjørstad, và Gropp (1996)hoặcToselli và Widlund (2005)để biết tài liệu tham khảo chung về các phương pháp phân tách miền.$\mathcal O\big( \frac{L^2}{hH} \big)$$h$$H/h$

Đối với tốc độ hội tụ tối ưu hoặc bán tối ưu, nhiều cấp độ là cần thiết. Hầu hết các phương pháp DD được đặt ra là phương pháp hai cấp độ và một số rất khó để mở rộng ra nhiều cấp độ hơn. Các phương pháp DD có thể được phân loại là chồng chéo hoặc không chồng chéo.

Qua nối chồng

Các phương pháp Schwarz này sử dụng sự chồng chéo và thường dựa trên việc giải quyết các vấn đề Dirichlet. Sức mạnh của các phương pháp có thể được tăng lên bằng cách tăng sự chồng chéo. Lớp phương thức này thường mạnh mẽ, không yêu cầu nhận dạng không gian rỗng cục bộ hoặc sửa đổi kỹ thuật cho các vấn đề với các ràng buộc cục bộ (phổ biến trong cơ học rắn kỹ thuật), nhưng liên quan đến công việc phụ (đặc biệt là 3D) do sự chồng chéo. Ngoài ra, đối với các vấn đề bị ràng buộc như không thể nén, hằng số inf-sup của dải chồng lấp thường xuất hiện, dẫn đến tốc độ hội tụ dưới mức tối ưu. Các phương pháp chồng chéo hiện đại sử dụng các không gian thô tương tự như BDDC / FETI-DP (được thảo luận dưới đây) được phát triển bởi Dorhmann, Klawonn và Widlund (2008) và Dohrmann và Widlund (2010) .

Không chồng chéo

Các phương thức này thường giải quyết các vấn đề Neumann theo một cách nào đó, điều đó có nghĩa là không giống như các phương pháp Dirichlet, chúng không thể làm việc với ma trận được lắp ráp toàn cầu, và thay vào đó yêu cầu ma trận không được lắp ráp hoặc lắp ráp một phần. Các phương pháp Neumann phổ biến nhất hoặc thực thi tính liên tục giữa các tên miền phụ bằng cách cân bằng ở mỗi lần lặp hoặc theo số nhân Lagrange sẽ thực thi tính liên tục chỉ khi đạt được sự hội tụ. Các phương pháp ban đầu của loại này (Cân bằng Neumann-Neumann và FETI) yêu cầu mô tả chính xác không gian rỗng của mỗi tên miền phụ, cả hai để xây dựng mức độ thô và làm cho các vấn đề tên miền phụ trở nên đơn lẻ. Các phương thức sau này (BDDC và FETI-DP) chọn các góc của tên miền phụ và / hoặc các khoảnh khắc cạnh / mặt là mức độ tự do thô. Xem Klawonn và Rheinbach (2007)cho một cuộc thảo luận sâu về lựa chọn không gian thô cho độ co giãn 3D. Mandel, Dohrmann và Tazaur (2005) đã chỉ ra rằng BDDC và FETI-DP có tất cả các giá trị riêng giống nhau, ngoại trừ 0 và 1 có thể.

Hơn hai cấp độ

Hầu hết các phương thức DD chỉ được đặt ra là phương pháp hai cấp và một số không gian thô được chọn không thuận tiện để sử dụng với hơn hai cấp. Thật không may, đặc biệt là trong 3D, các vấn đề cấp độ thô nhanh chóng trở thành nút cổ chai, hạn chế các kích thước vấn đề có thể được giải quyết. Ngoài ra, số điều kiện của các toán tử tiền điều kiện, đặc biệt đối với các phương thức DD dựa trên các vấn đề Neumann, có xu hướng mở rộng như

$L$$L \le 4$$10^{12}$

Đây là một bài viết tuyệt vời nhưng tôi nghĩ rằng nói rằng (đa cấp) DD và MG có nhiều điểm chung là không chính xác, hoặc ít nhất là không hữu ích. Các phương pháp rất khác nhau và tôi không nghĩ rằng chuyên môn trong một phương pháp này rất hữu ích trong các phương pháp khác.

Đầu tiên, hai cộng đồng sử dụng các định nghĩa khác nhau về độ phức tạp: DD tối ưu hóa số điều kiện của các hệ thống tiền điều kiện và MG tối ưu hóa độ phức tạp của công việc / bộ nhớ. Đây là một sự khác biệt cơ bản lớn - "sự lạc quan" có một ý nghĩa hoàn toàn khác trong hai bối cảnh này. Mọi thứ không thay đổi khi bạn thêm độ phức tạp song song (mặc dù bạn có một thuật ngữ nhật ký được thêm vào trong MG). Hai cộng đồng gần như nói các ngôn ngữ khác nhau.

Thứ hai, MG có đa cấp được tích hợp vào nó và các phương pháp DD đa cấp đã được phát triển với hai lý thuyết cấp độ và triển khai. Điều này giới hạn không gian của các không gian lưới thô mà bạn có thể sử dụng trong MG - chúng phải được đệ quy. Chẳng hạn, Bạn không thể triển khai FETI trong khung MG. Mọi người thực hiện một số phương pháp DD đa cấp như Jed đã đề cập nhưng ít nhất một số phương pháp DD phổ biến hiện tại dường như không thể thực hiện theo cách đệ quy.

Thứ ba, tôi thấy các thuật toán tự, như được thực hành, là rất khác nhau. Nói một cách định tính, tôi sẽ nói rằng các phương thức DD chiếu vào ranh giới miền và giải quyết vấn đề giao diện này. MG làm việc trực tiếp với các phương trình bản địa. Tránh phép chiếu này cho phép MG được áp dụng cho các vấn đề phi tuyến và phi đối xứng một cách dễ dàng. Mặc dù lý thuyết tất cả nhưng đi xa cho các vấn đề phi tuyến tính và không đối xứng, họ đã làm việc cho rất nhiều người. MG cũng phân tách rõ ràng vấn đề thành hai phần: không gian lưới thô để chia tỷ lệ và bộ giải lặp (mượt hơn) để giải quyết vật lý. Điều này rất quan trọng trong việc hiểu và làm việc với MG và là một tài sản hấp dẫn đối với tôi.

Mặc dù về mặt lý thuyết, các bộ làm mịn và không gian lưới thô được liên kết chặt chẽ với nhau, trong thực tế, bạn thường có thể trao đổi khác nhau một cách mượt mà hơn như một tham số tối ưu hóa. Như Jed đã đề cập đến các công cụ làm mịn điểm hoặc đỉnh là phổ biến và thường nhanh hơn, nhưng đối với các vấn đề thách thức, các công cụ làm mịn nặng hơn có thể hữu ích. Cốt truyện này là từ luận án của tôi cho thấy thời gian giải quyết như là một hàm của tỷ lệ Poisson cho Jacobi, chặn Jacobi và "Schwarz phụ gia" (chồng chéo). Nó hơi khó đọc nhưng với tỷ lệ Poisson cao nhất (0,499) chồng lên Schwarz nhanh hơn khoảng 2 lần so với Jocobi (đỉnh) trong khi tốc độ Poisson của người đi bộ chậm hơn khoảng 3 lần.

Theo câu trả lời của Jed, MG sử dụng độ thô vừa phải trong khi DD sử dụng tốc độ thô nhanh. Tôi nghĩ rằng điều này làm cho một sự khác biệt khi chúng được song song. Sẽ có nhiều thông tin liên lạc và đồng bộ hóa để MG trải qua nhiều cấp độ thô tương đương với một mức độ thô của DD. Một điểm khác từ câu trả lời của Jed là MG sử dụng giá rẻ hơn và DD sử dụng mượt mà hơn. Xem xét hai điểm, đã được báo cáo rằng MG ở mức độ thô sẽ có tỷ lệ giao tiếp / tính toán xấu. Vì vậy, theo luật của Amdahl , việc tăng tốc song song là không tốt. Một biện pháp khắc phục điều này là điều chỉnh lưới thô song song như tiền xử lý BPX. Ngoài ra, MG có thể sử dụng DD mượt mà hơn như Adams đã chỉ ra, và MG cũng có thể được sử dụng trong các tên miền phụ của DD. Dựa trên những cân nhắc mà Barker đã chỉ ra, tôi đoán sử dụng MG trong DD là tốt hơn, khai thác cả song song với DD và độ phức tạp tối ưu của MG.

Tôi muốn thực hiện một bổ sung nhỏ cho câu trả lời xuất sắc của Jed, cụ thể là các động lực đằng sau hai cách tiếp cận này (hoặc ít nhất là) khác nhau.

Phân rã tên miền được thúc đẩy như một kỹ thuật cho tính toán song song. Đặc biệt đối với các phương thức một cấp độ DD rất tự nhiên để thực hiện trên một máy song song - bạn chia miền thành các phần và đưa mỗi phần cho một bộ xử lý khác nhau. Trong một số ý nghĩa, động lực đằng sau DD là để phân chia các hoạt động số học giữa các bộ xử lý.

Thực hiện đa song song tốt tồn tại, nhưng thường ít tự nhiên để làm song song. Thay vào đó, động lực đằng sau multigrid là thực hiện các hoạt động số học ít hơn ở nơi đầu tiên.

$H$$h$$\mathcal{O}(\frac{1}{Hh})$

$h$$H$