Một tiêu chí dừng tốt khi sử dụng phương pháp lặp để tìm giá trị bản địa là gì?

Tôi đọc câu trả lời này và nhận ra rằng tôi đã sử dụng sự khác biệt giữa các lần lặp thành công để xác định một tiêu chí dừng cho một phương pháp lặp để tìm giá trị / vectơ.

Các tiêu chí dừng tốt cho các phương pháp lặp hội tụ đến giá trị riêng và hàm riêng là gì?

Cuốn sách Phương pháp số của Youssef Saad cho các vấn đề Eigenvalue lớn, ấn bản thứ 2 sử dụng định mức của vectơ dư để xác định tiêu chí hội tụ. Ông định nghĩa vectơ còn lại như sau trên trang 59:

Cho một ma trận , một giả định eigenvalue ~ λ ∈ C và eigenvector giả định ~ u ∈ C n kết hợp với ~ λ , vector dư r gắn liền với cặp ( ~ λ , ~ u ) là$\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$$\widetilde{\lambda} \in \mathbb{C}$$\widetilde{\mathbf{u}} \in \mathbb{C}^{n}$$\widetilde{\lambda}$$\mathbf{r}$$(\widetilde{\lambda}, \widetilde{\mathbf{u}})$

Nhiều kết quả lỗi trong cuốn sách của Saad được nêu theo định mức của vectơ dư (nói chung là 2 chỉ tiêu) và anh ta sử dụng định mức của vectơ còn lại như một thước đo để hội tụ bất cứ khi nào anh ta trình bày kết quả bằng số. Dựa trên bằng chứng đó, tiêu chí dừng lại sẽ là

SLEPc (dựa trên PETSc ), dường như sử dụng một tiêu chuẩn hội tụ tương tự trong họ thực hành các bài tập (họ sử dụng trong bài tập 1 và 2 thay vì).$\|\mathbf{r}\|/\|\widetilde{\lambda}\widetilde{\mathbf{u}}\|$

Tuy nhiên, LAPACK không nhất thiết phải sử dụng số liệu đó để hội tụ (ví dụ, trong ghi chú làm việc LAPACK (LAWN) # 15 , sử dụng phương pháp Jacobi để tính toán hàm riêng và giá trị riêng của ma trận xác định dương đối xứng). Các LUẬT khá dày đặc (tha thứ cho trò chơi chữ) và kỹ thuật, nhưng nếu bạn muốn xem những triển khai chất lượng cao nào được sử dụng để hội tụ, có lẽ chúng đáng để đọc chi tiết.