Phương pháp lặp cho các hệ thống không xác định mà không có cấu trúc khối

Các hệ thống ma trận không xác định xuất hiện, ví dụ như trong việc phân biệt các vấn đề về điểm yên bằng các phần tử hữu hạn hỗn hợp. Ma trận hệ thống sau đó có thể được đặt ở dạng

Trong đó là âm (bán) - xác định, C là dương (bán) xác định và B là tùy ý. Tất nhiên, tùy thuộc vào quy ước, bạn có thể sử dụng các điều kiện dứt khoát, nhưng đây là cấu trúc của các ma trận đó.$A$$C$$B$

Đối với các phương thức này, phương pháp của Uzawa có thể được sử dụng, đây thực sự chỉ là một "mánh khóe" để biến hệ thống thành một hệ thống bán xác định tương đương có thể được giải quyết bằng Conjugate Gradient, Gradient Descent và tương tự.

Tôi phải đối mặt với một hệ thống không xác định không có cấu trúc khối như vậy. Phương pháp kiểu Uzawa không áp dụng trong trường hợp đó. Tôi biết về phương pháp Dư lượng tối thiểu (MINRES) đã được Paige & Saunders giới thiệu, đây chỉ là một phép đệ quy ba kỳ và có vẻ dễ thực hiện.

Câu hỏi: Nói chung, MINRES có phải là một lựa chọn tốt cho việc tạo mẫu không? Nó có liên quan thực tế không? Điều kiện tiên quyết là không có vấn đề trung tâm tại thời điểm này.

Nếu bạn không quan tâm đến điều kiện tiên quyết, thì MINRES là lựa chọn tiêu chuẩn. Tuy nhiên, hãy lưu ý rằng MINRES yêu cầu một điều kiện tiên quyết xác định dương đối xứng.

Nếu bạn quan tâm đến điều kiện tiên quyết, thì điều quan trọng là phải xem xét sự khác biệt về cấu trúc giữa hầu hết các vấn đề về điểm yên và các vấn đề không xác định chung. Hầu hết các vấn đề về điểm yên xe phát sinh khi giải quyết các vấn đề elip với các ràng buộc được thi hành bởi hệ số nhân Lagrange. Tính không nén và ràng buộc liên hệ là những ví dụ phổ biến. Đối với các vấn đề như vậy, toán tử bị ép buộc vào không gian con trong đó ràng buộc được thỏa mãn, với các chức năng của Green phân rã nhanh chóng. Những vấn đề như vậy có thể được giải quyết một cách hiệu quả bằng cách sử dụng các điều kiện tiên quyết khối (Uzawa tiền điều kiện là một thành viên của gia đình này), đa biến với các bộ làm mịn tương thích (ví dụ Vanka hoặc dựa trên phân tách khối) hoặc phân tách miền đa cấp với các vấn đề cục bộ và phù hợp.

Ví dụ nguyên mẫu của một vấn đề không xác định không phải là vấn đề điểm yên ngựa là phương trình Helmholtz

$a(x)$$k$

Một câu hỏi liên quan có thể được quan tâm là Tôi nên tuân theo những hướng dẫn nào khi chọn một bộ giải hệ thống tuyến tính thưa thớt? , mặc dù trong trường hợp này, bạn sẽ chỉ quan tâm đến các phương pháp lặp. Sự hiểu biết của tôi về các phương pháp lặp là sự hội tụ cho bất kỳ phương thức đã cho nào phụ thuộc rất nhiều vào phổ của ma trận của bạn. Mặc dù bạn không thể sử dụng phương pháp của Uzawa, bạn vẫn có thể thử GMRES, Biconjugate gradient ổn định, MINRES, phương pháp dư tối thiểu và các phương pháp lặp khác áp dụng cho ma trận không xác định.

Nếu mã hóa các phương thức khác nhau là một mối quan tâm, bạn có thể gọi các bộ giải trong thuật toán của mình bằng thư viện như PETSc , thực hiện một loạt các bộ giải tuyến tính lặp.

MINRES là sự lựa chọn tốt nhất cho loại vấn đề này.