Là quy mô thay đổi cần thiết khi giải quyết một số vấn đề PDE bằng số?

Trong mô phỏng bán dẫn, thông thường các phương trình được chia tỷ lệ để chúng có giá trị chuẩn hóa. Ví dụ, trong trường hợp cực đoan, mật độ electron trong chất bán dẫn có thể thay đổi trên 18 bậc độ lớn và điện trường có thể thay đổi mạnh mẽ, trên 6 (hoặc hơn) các bậc độ lớn.

Tuy nhiên, các giấy tờ không bao giờ thực sự đưa ra một lý do để làm điều này. Cá nhân tôi rất vui khi xử lý các phương trình trong các đơn vị thực, có bất kỳ lợi thế nào để làm điều này không, có phải là không thể? Tôi nghĩ với độ chính xác gấp đôi sẽ có đủ chữ số để đối phó với những biến động này.

---

Cả hai câu trả lời đều rất hữu ích, cảm ơn rất nhiều!

Việc giải PDE (tuyến tính) bao gồm việc phân tách phương trình để tạo ra một hệ tuyến tính, sau đó được giải bởi một bộ giải tuyến tính có độ hội tụ (tốc độ) phụ thuộc vào số điều kiện của ma trận. Thu nhỏ các biến thường làm giảm số điều kiện này, do đó cải thiện sự hội tụ. (Điều này về cơ bản là áp dụng một điều kiện tiên quyết đường chéo, xem Độ chính xác và tính ổn định của thuật toán số của Nicholas Higham .)

Ngoài ra, việc giải các PDE phi tuyến đòi hỏi một phương pháp để giải các phương trình phi tuyến như phương pháp của Newton, trong đó tỷ lệ cũng có thể ảnh hưởng đến sự hội tụ.

Vì bình thường hóa mọi thứ thường tốn rất ít nỗ lực, nên hầu như luôn luôn là một ý tưởng tốt.

Các PDE trong đó các giải pháp có ranh giới rõ ràng đặt ra các vấn đề vượt ra ngoài khả năng đại diện cho giải pháp ở điểm nổi. Điều này đặc biệt đúng khi các giải pháp có ý nghĩa vật lý nhất định, ví dụ: mật độ (mà mỗi se không thể nhỏ hơn 0). Ví dụ, hãy xem xét Giải pháp chính xác là tích cực theo chiều, nhưng khi rời rạc với các phần tử hữu hạn, điều đó có thể không còn đúng nữa. Mộtcâu hỏi tương tựđược đưa ra gần đây.

$$-\varepsilon \Delta u + u = 0 \text{ on } \Omega,\\ u = 1 \text{ on } \partial\Omega.$$

Điều đó nói rằng, không có sự thay đổi tỷ lệ của các biến hoặc miền loại bỏ khó khăn này.

$u_{\alpha}$

$$-\alpha^2\Delta u = f_\alpha \text{ on } \alpha\Omega$$ $\alpha$$u_1$ $$-\Delta u = f \text{ on } \Omega.$$ cho bất kỳ α . Điều này cho thấy việc nhân rộng tham số α hoàn toàn không ảnh hưởng đến hành vi của giải pháp - một thực tế khá rõ ràng ở đây, nhưng có thể khá khó thấy trong các trường hợp khác. Bạn có thể xây dựng những ví dụ khá phức tạp với các thông số hơn trong cùng một cách, ví dụ,phương trình Navier-Stokes và nónondimensionalizationvàoReynolds-số-formulation.$u_{\alpha}(\mathbf{x}):=u_1(\mathbf{x}/\alpha)$$\alpha$$\alpha$

Xử lý các số có dấu phẩy động có thể là mẹo liên quan đến phép trừ các số nhỏ từ các số lớn hơn, cũng như với nhiều khía cạnh khác. Tôi khuyên bạn nên đọc các bài đăng trên blog của John D. Cooks về họ, chẳng hạn như

Cấu tạo của một số dấu phẩy động

cũng như của Oracle

Những gì mọi nhà khoa học máy tính nên biết về biểu đồ dấu phẩy động

Ngoài ra các thuật toán số nhất định để tối thiểu hóa, hoặc tối đa hóa yêu cầu chuẩn hóa để ổn định số.