Một mô hình không gian trạng thái có thể thay đổi kích thước trạng thái theo thời gian?

Tôi đã làm việc với các mô hình không gian nhà nước liên quan đến ước tính Kalman. Ở đây tôi luôn thấy các mô hình không gian trạng thái với kích thước trạng thái cố định theo thời gian, tức là ma trận chuyển trạng thái là hình vuông. Ví dụ: xác định:

$$x_{t+1} = A_t x_t + B_t u_t\\ y_t = C_t x_t + D_t v_t$$ Sau đó $A_t$ Là $n \times n$.

Tôi cho rằng tôi có thể dễ dàng cho phép nhà nước thay đổi kích thước tại thời điểm $t_\text{change}$ bằng cách cho phép $A_{t_\text{change}}$ có kích thước $m \times n$ Ở đâu $m\neq n$. Đây có phải là "được phép" trong các mô hình không gian nhà nước nói chung? Và điều này có kéo theo bất kỳ vấn đề nào trong việc áp dụng bộ lọc Kalman để ước tính trạng thái$x_t$ cho $t$ "qua" điểm $t_\text{change}$?

Câu trả lời ngắn: Có nhưng không.

Câu trả lời dài:

Nếu một ma trận hệ thống là hình chữ nhật thì nó có nghĩa là;

• Có số lượng trạng thái nhiều hơn số lượng dẫn xuất của chúng không có ý nghĩa. Nếu bạn có một hệ thống như hệ thống tuyến tính nhảy hoặc một cái gì đó kết hợp với hệ thống ban đầu và mở rộng không gian trạng thái, bạn vẫn có thể làm việc với các kết nối của các hệ thống vuông được bật / tắt (dựa trên sự kiện) mà không cần phải quay lại phương pháp bí truyền này

hoặc là

• Có nhiều phương trình vi phân hơn số lượng trạng thái ngụ ý rằng một số trạng thái đó có thể được coi là đầu vào ngoại sinh, từ đó có thể được điều hòa bằng cách đưa các thuật ngữ đó vào ma trận B của bạn và để lại ma trận A vuông.

Vì vậy, trong ngắn hạn, với ma trận trạng thái vuông, bạn không có bất kỳ mất tính tổng quát.