Trong một quá trình Poisson được đo với một số hiệu quả, số lượng đo được vẫn là Poisson?

Tình hình:

Nói rằng tôi có một quá trình Poisson, như phân rã phóng xạ, tạo ra các hạt R mỗi giây. Tôi đo bằng máy dò. Có xác suất P rằng một hạt sẽ được phát hiện bởi máy dò.

Những điều tôi nghĩ rằng tôi biết:

1. Thời gian đến của phát xạ hạt được phân phối theo cấp số nhân với các tham số dựa trên R .
2. Số lượng các hạt phát ra trước khi phát hiện được đưa ra bởi một nhị thức âm tính dựa trên P .
3. Nếu một số N được lấy mẫu từ (2), một mẫu thời gian đến của các hạt được phát hiện có thể được đưa ra bằng tổng số N mẫu từ (1). Số tiền này có thể thu được bằng cách lấy mẫu từ phân phối gamma với các thông số dựa trên N và R .

Câu hỏi của tôi:

Nếu một thời gian liên tiếp duy nhất có thể được tính bằng cách lấy mẫu từ một gamma dựa trên N và R , làm thế nào để số lượng máy dò đếm trong một khoảng thời gian cuối cùng lại là Poisson? (Để trở thành Poisson, thời gian đến của máy dò phải theo cấp số nhân, không được phân phối theo một số điều gamma kỳ lạ.) Tất nhiên là N đang dao động, nhưng tôi không thể thấy điều này diễn ra như thế nào.

Tuy nhiên, tôi gần như hoàn toàn chắc chắn số lượng máy dò được phân phối trên thực tế là Poisson. Ai đó có thể chỉ cho tôi toán học? Cảm ơn đã giúp đỡ!

BIÊN TẬP:

Tôi tìm thấy bài báo này: Fried, DL "Nhiễu trong dòng quang hóa." Quang học ứng dụng 4.1 (1965): 79-80.

Điều này cho thấy kết quả là một biến ngẫu nhiên poisson được chọn ngẫu nhiên cũng là Poisson với tỷ lệ được đưa ra bởi PR. Điều này xác nhận nhận xét của jbowman. Tuy nhiên, tôi sẽ quan tâm đến việc xem giải thích về cách quá trình tạo thời gian chuyển tiếp đến máy dò bằng cách sử dụng phân phối nhị thức và gamma âm là không chính xác. Đây là trục trặc tinh thần lớn của tôi. Cảm ơn bạn.

EDIT 2:

Tôi đã viết kịch bản MATLAB này để kiểm tra xem những gì tôi đã thử với bản phân phối gamma có hoạt động hay không. Hóa ra rằng bằng cách nào đó, thời gian chuyển tiếp gamma được tạo bằng N phân bố hình học là theo cấp số nhân và đồng ý với thời gian liên tiếp được đề xuất bởi Poisson (PR). (ia2 và ia3 được phân phối giống hệt nhau). Bất kỳ ý tưởng làm thế nào điều này làm việc ra phân tích? Nó không rõ ràng bằng trực giác với tôi!

close all
n = 100000;
ia1 = exprnd(1,n,1); % create exponentially distributed inter-arrival times
t1 = cumsum(ia1); % running sum (the real experiment time)

mask = (rand(n,1) > 0.5); % flip a coin
t2 = t1(mask); % get only the events for which "the coin landed on heads"
ia2 = diff(t2); % calculate the inter-arrival times at the detector.

% plot the distributions
figure; hist(ia1,100); title('exponential inter-arrival times');
figure; hist(ia2,100); title('binomial sampled inter-arrival times');

%%
spacing = geornd(0.5,n,1) + 1; % how many events before we get heads
ia3 = gamrnd(spacing,ones(n,1)); % generate the interarrival times with gamma
figure; hist(ia3,100); title('geom/gamma inter-arrival times');

$R$$p_{0i}$$P$

$\lambda_{obs}=RP$

$O(t)$$N(t)\sim PP(r)$$N(t)$$O(t)$$p$$s$$N(s)=n$$O(s)$$n,p$) phân phối.

Cách tiếp cận này sử dụng các hàm tạo xác suất:

$E[z^{O(t)}|N(t)=n]=\sum_{j=0}^{n}z^{j} {n \choose j}p^j(1-p)^{n-j}=(1-p+pz)^{n}$

Bình đẳng cuối cùng theo định lý nhị thức. Sau đó, vô điều kiện, vì$N(t)\sim Poisson(rt)$ :

$E[z^{O(t)}]=E[E[z^{O(t)}|N(t)=n]]=\sum_{n=0}^{\infty}(1-p+pz)^{n}\frac{rt^n}{n!}e^{-rt}=e^{-rt}e^{rt(1-p+pz)}=e^{rpt(z-1)}$

Đó là hàm tạo xác suất của biến ngẫu nhiên Poisson ( ).$rpt$