Hiểu hình dạng và tính toán của các dải tin cậy trong hồi quy tuyến tính

Tôi đang cố gắng tìm hiểu nguồn gốc của dải tin cậy cong có liên quan đến hồi quy tuyến tính OLS và cách nó liên quan đến khoảng tin cậy của các tham số hồi quy (độ dốc và chặn), ví dụ (sử dụng R):

require(visreg)
fit <- lm(Ozone ~ Solar.R,data=airquality)
visreg(fit)

Có vẻ như băng tần có liên quan đến giới hạn của các đường được tính toán với mức chặn 2,5% và độ dốc 97,5%, cũng như với mức chặn 97,5% và độ dốc 2,5% (mặc dù không hoàn toàn):

xnew <- seq(0,400)
int <- confint(fit)
lines(xnew, (int[1,2]+int[2,1]*xnew))
lines(xnew, (int[1,1]+int[2,2]*xnew))

Điều tôi không hiểu là hai điều:

1. Còn sự kết hợp giữa độ dốc 2,5% và độ chặn 2,5% cũng như độ dốc 97,5% và độ chặn 97,5% thì sao? Chúng đưa ra các dòng rõ ràng bên ngoài ban nhạc được vẽ ở trên. Có thể tôi không hiểu ý nghĩa của khoảng tin cậy, nhưng nếu trong 95% trường hợp ước tính của tôi nằm trong khoảng tin cậy, thì đây có vẻ là kết quả có thể xảy ra?
2. Điều gì xác định khoảng cách tối thiểu giữa giới hạn trên và dưới (tức là gần với điểm mà hai dòng được thêm ở trên chặn)?

Tôi đoán cả hai câu hỏi phát sinh bởi vì tôi không biết / hiểu cách các dải này thực sự được tính toán.

Làm cách nào tôi có thể tính các giới hạn trên và dưới bằng cách sử dụng khoảng tin cậy của các tham số hồi quy (mà không cần dựa vào dự đoán () hoặc một hàm tương tự, tức là bằng tay)? Tôi đã cố gắng giải mã hàm dự đoán.lm trong R, nhưng mã hóa nằm ngoài tôi. Tôi đánh giá cao bất kỳ con trỏ nào đối với tài liệu hoặc giải thích phù hợp cho người mới bắt đầu thống kê.

Cảm ơn.

$X$$s_{\hat{Y}_{X}}$

$s_{\hat{Y}_{X}} = s_{Y|X}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{\left(X-\bar{X}\right)^{2}}{\sum_{i=1}^{n}{\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}}}$

$s_{Y|X}$

$s_{Y|X} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{\left(Y_{i}-\hat{Y}\right)^{2}}}{n-2}}$

$\hat{Y} \pm t_{\nu=n-2, \alpha/2}s_{\hat{Y}}$

$Y$$X$

$\hat{\beta}$$\hat{\alpha}$

Câu hỏi hay. Điều quan trọng là phải hiểu những khái niệm này và chúng không đơn giản.

$\bar y$$\bar y$$\bar y$

Khi chúng tôi kết hợp tất cả các khoảng tin cậy, với mọi x có thể, nó cung cấp cho chúng tôi các dải màu xám mà bạn thấy trong đầu ra.

Điều này có nghĩa là về mặt chức năng là chúng tôi tin tưởng 95% rằng đường hồi quy thực sự nằm ở đâu đó trong vùng màu xám đó.

Bởi vì các dải tin cậy được tính bằng cách sử dụng khoảng tin cậy 95% cho từng điểm riêng lẻ, nên nó có liên quan rất chặt chẽ với 95% CI cho phần chặn. Trên thực tế, tại x = 0, các cạnh của vùng màu xám sẽ trùng khớp chính xác với 95% CI cho phần chặn, bởi vì đó là cách chúng tôi tạo ra các dải tin cậy. Đó là lý do tại sao các dòng bạn đã thêm ở trên chạm vào rìa của dải màu xám về phía bên trái.

Tuy nhiên, độ dốc có một chút khác biệt. Nó đóng góp vào các giới hạn, như bạn đã thấy ở trên, nhưng độ dốc và giao thoa không thể tách rời trong hồi quy tuyến tính. Vì vậy, bạn không thể thực sự nói "tốt, nếu chặn ở mức tối thiểu của phạm vi CI và độ dốc cũng ở mức tối thiểu thì sao?" Dòng này sẽ tạo ra các điểm nằm ngoài 95% CI của chúng tôi cho nhiều x. Điều này có nghĩa là chúng tôi tự tin 95% rằng đó không phải là đường hồi quy thực sự của chúng tôi.

$\bar x$$s_{{\hat y}_x}$$(x - \bar x)$$x = \bar x$

Có một powerpoint khá ở đây có thể giúp bạn hình dung một số điều sau: http://www.stat.duke.edu/~tjl13/s101/slides/unit6lec3H.pdf