Tôi sẽ bắt đầu bằng cách nói rằng đây là một vấn đề bài tập về nhà. Tôi đã dành vài giờ để tìm kiếm các giá trị mong đợi và xác định rằng tôi không hiểu gì cả.

Đặt $X$ có CDF $F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$ .
Tìm $E(X)$ cho các giá trị đó của $\alpha$ mà $E(X)$ tồn tại.

Tôi không biết làm thế nào để bắt đầu điều này. Làm thế nào tôi có thể xác định giá trị nào của $\alpha$ tồn tại? Tôi cũng không biết phải làm gì với CDF (Tôi giả sử điều này có nghĩa là Hàm phân phối tích lũy). Có các công thức để tìm giá trị mong đợi khi bạn có hàm tần số hoặc hàm mật độ. Wikipedia cho biết CDF của $X$ có thể được định nghĩa theo hàm mật độ xác suất $f$ như sau:

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

Điều này là như tôi đã nhận được. Nơi nào tôi đi từ đây?

EDIT: Tôi có nghĩa là để đặt $x\ge1$ .

Đã chỉnh sửa cho nhận xét từ xác suất

Lưu ý rằng $F(1)=0$ trong trường hợp này, do đó sự phân bố có khả $0$ là ít hơn $1$ , vì vậy $x \ge 1$ , và bạn cũng sẽ cần $\alpha > 0$ cho một lũy ngày càng tăng.

Nếu bạn có cdf thì bạn muốn chống tích phân hoặc đạo hàm với phân phối liên tục như thế này

$$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$

và ngược lại với x ≥ 1 .$F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$$x \ge 1$

Sau đó, để tìm thấy kỳ vọng bạn cần tìm

$$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$$

cung cấp rằng điều này tồn tại. Tôi sẽ để lại tính toán cho bạn.

Việc sử dụng hàm mật độ là không cần thiết

Tích hợp 1 trừ CDF

Khi bạn có một biến ngẫu nhiên $X$ có hỗ trợ không âm (nghĩa là biến đó có mật độ / xác suất khác không chỉ cho các giá trị dương), bạn có thể sử dụng thuộc tính sau:

$$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$$

Một thuộc tính tương tự được áp dụng trong trường hợp một biến ngẫu nhiên rời rạc.

Bằng chứng

Vì ,$1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

$$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$$

Sau đó thay đổi thứ tự tích hợp:

$$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$$

Nhận ra rằng là một biến giả hoặc lấy sự thay thế đơn giản t = x và d t = d x ,$t$$t=x$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

$$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$$

Ghi công

Tôi đã sử dụng phần Công thức cho các trường hợp đặc biệt của bài viết Giá trị dự kiến trên Wikipedia để làm mới bộ nhớ của tôi trên bằng chứng. Phần đó cũng chứa bằng chứng cho trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc và cũng cho trường hợp không có hàm mật độ tồn tại.

Kết quả kéo dài đến thứ khoảnh khắc của X là tốt. Đây là một đại diện đồ họa: $k$$X$

Tôi nghĩ rằng bạn thực sự có nghĩa là , nếu không thì CDF là ngớ ngẩn, như F ( 1 ) = 1 - 1 - α = 1 - 1 = $x\geq 1$$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$ .

Những gì bạn "biết" về CDF là họ cuối cùng tiếp cận zero như là đối số giảm mà không bị ràng buộc và cuối cùng tiếp cận một khi x → ∞ . Họ cũng đều là phòng không giảm, vì vậy đây có nghĩa là 0 ≤ F ( y ) ≤ F ( x ) ≤ 1 cho tất cả các y ≤ $x$$x \to \infty$$0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$$y\leq x$ .

Vì vậy, nếu chúng tôi cắm CDF, chúng tôi nhận được:

$$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$$

Từ đó, chúng tôi kết luận rằng hỗ trợ cho là x ≥ 1 . Bây giờ chúng tôi cũng yêu cầu lim x → ∞ F ( x ) = 1 mà ngụ ý rằng α > $x$$x\geq 1$$\lim_{x\to\infty} F(x)=1$$\alpha>0$

Để tìm ra những giá trị mà kỳ vọng tồn tại, chúng tôi yêu cầu:

$$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$$

Và biểu thức cuối cùng này cho thấy rằng để tồn tại, chúng ta phải có - α < - 1 , từ đó ngụ ý α > 1 . Điều này có thể dễ dàng được mở rộng để xác định các giá trị của α mà r 'th khoảnh khắc nguyên E ( X r ) tồn tại.$E(X)$$-\alpha<-1$$\alpha>1$$\alpha$$r$$E(X^{r})$

The Answer requiring change of order is unnecessarily ugly. Here's a more elegant 2 line proof.

$\int udv = uv - \int vdu$

Now take $du = dx$ and $v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$