Hàm mất phần trăm

Giải pháp cho vấn đề:

$$\min_{m} \; E[|m-X|]$$

được biết đến là trung vị của $X$ , nhưng hàm mất mát trông như thế nào đối với các phần trăm khác? Ví dụ: phân vị thứ 25 của X là giải pháp để:

$$\min_{m} \; E[ L(m,X) ]$$

Là gì $L$ trong trường hợp này?

Đặt $I$ là hàm chỉ thị: nó bằng $1$ cho các đối số thực và $0$ nếu không. Chọn $0\lt\alpha\lt 1$ và đặt

$$\Lambda_\alpha(x)=\alpha x\, I(x\ge 0) - (1-\alpha)x\, I(x\lt 0).$$

Hình này vẽ đồ thị $\Lambda_{1/5}$ . Nó sử dụng tỷ lệ khung hình chính xác để giúp bạn đánh giá các độ dốc, bằng $-4/5$ ở bên trái và $+1/5$ ở bên phải. Trong trường hợp này, các chuyến du ngoạn trên $0$ bị giảm cân nặng so với các chuyến du ngoạn dưới $0$ .

Đây là một hàm tự nhiên để thử vì nó có giá trị vượt quá khác với nhỏ hơn . Hãy tính toán tổn thất liên quan và sau đó tối ưu hóa nó.$x$$0$$x$$0$

Viết cho hàm phân phối của và đặt , tính toán$F$$X$$L_\alpha(m,x) = \Lambda_\alpha(x-m)$

$$\eqalign{ \mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\int_\mathbb{R} \Lambda_\alpha(x-m)dF(x)\\ &=\alpha\int_\mathbb{R} I(x\ge m)(x-m) dF(x) - (1-\alpha)\int_\mathbb{R} (x-m)I(x\lt m) dF(x)\\ &=\alpha\int_m^\infty(x-m)dF(x) - (1-\alpha)\int_{-\infty}^m(x-m) dF(x). }$$

Vì thay đổi trong hình minh họa này với phân phối chuẩn , tổng diện tích có trọng số xác suất của được vẽ. (Đường cong là đồ thị của .) Cốt truyện cánh tay phải cho rõ ràng nhất cho thấy tác dụng của downweighting các giá trị tích cực, cho mà không này downweighting cốt truyện sẽ được đối xứng về nguồn gốc. Biểu đồ ở giữa hiển thị tối ưu, trong đó tổng lượng mực xanh (đại diện cho ) càng nhỏ càng tốt.$m$$F$$\Lambda_{1/5}$$\Lambda_{1/5}(x-m)dF(x)$$m=0$$\mathbb{E}_F(L_{1/5}(m,X))\ $

Chức năng này là khác biệt và do đó, điểm cực của nó có thể được tìm thấy bằng cách kiểm tra các điểm quan trọng. Áp dụng Quy tắc Chuỗi và Định lý cơ bản của Tính toán để có được đạo hàm đối với đưa ra$m$

$$\eqalign{ \frac{\partial}{\partial m}\mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\alpha\left(0-\int_m^\infty dF(x)\right) - (1-\alpha)\left(0 - \int_{-\infty}^m dF(x)\right)\\ &= F(m) - \alpha. }$$

Đối với các bản phân phối liên tục này luôn có một giải pháp đó, theo định nghĩa, là bất kỳ quantile của . Đối với các bản phân phối không liên tục, điều này có thể không có giải pháp nhưng sẽ có ít nhất một cho cho tất cả và cho tất cả : đây cũng (theo định nghĩa) là một quantile của .$m$$\alpha$$X$$m$$F(x)-\alpha\lt 0$$x\lt m$$F(x)-\alpha\ge 0$$x\ge m$$\alpha$$X$

Cuối cùng, vì và , rõ ràng cả hay đều sẽ giảm thiểu tổn thất này. Điều đó làm cạn kiệt việc kiểm tra các điểm quan trọng, cho thấy phù hợp với dự luật.$\alpha\ne 0$$\alpha\ne 1$$m\to-\infty$$m\to\infty$$\Lambda_\alpha$

Trong trường hợp đặc biệt, là mất mát được thể hiện trong câu hỏi$\mathbb{E}_F(2L_{1/2}(m,X)) = \mathbb{E}_F\left(\left|m-x\right|\right)$

Bài viết này có câu trả lời của bạn. Để cụ thể, Hàm mất có thể được hiểu là 'cân bằng' các vùng khối lượng xác suất khác nhau khoảng thông qua phép trừ . Đối với trung vị các vùng khối lượng này bằng nhau: làm cho hàm mất theo tỷ lệ (với kỳ vọng hằng số là không đáng kể) thành đưa ra kết luận mong muốn cho trung vị.

$$L_{0.25}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right|.$$ $0.25$$0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \}$ $$L_{0.5}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.5 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right| = \left| \left( X - m \right) \times \pm 0.5 \right|,$$ $$\left| X - m\right|,$$