Biến ngẫu nhiên thống nhất rời rạc (?) Lấy tất cả các giá trị hợp lý trong một khoảng thời gian đóng

Tôi vừa có một cuộc tấn công hoảng loạn (trí tuệ).

• Một biến ngẫu nhiên liên tục theo sau một đồng phục trong một khoảng đóng $U(a,b)$ : một khái niệm thống kê quen thuộc thoải mái.
• Một rv thống nhất liên tục có hỗ trợ trên các thực tế mở rộng (một nửa hoặc toàn bộ): không phải là một rv phù hợp, mà là một khái niệm Bayes cơ bản cho một trước không phù hợp, hữu ích và có thể áp dụng.
• Một bộ đồng phục riêng biệt lấy một số lượng giá trị hữu hạn: chúng ta hãy ném một mái vòm trắc địa, không có vấn đề gì lớn.

Nhưng những gì về một hàm có miền như tất cả các tỷ lệ hợp lý được bao gồm trong một khoảng đóng với giới hạn số nguyên (bắt đầu bằng $[0,1]$ nếu bạn muốn) thì sao? Và chúng tôi muốn sử dụng nó trong một khung xác suất, yêu cầu mỗi giá trị có thể có xác suất bằng nhau với tất cả các giá trị khác?

Số lượng các giá trị có thể là vô hạn (đặc trưng cho rất nhiều phân phối rời rạc), nhưng làm thế nào để thể hiện xác suất của một giá trị duy nhất mà chúng ta muốn xác suất bằng nhau?

Chúng ta có thể nói-show-chứng minh rằng một thực thể như vậy (không phải) là một biến ngẫu nhiên không?

Nếu không, đây có phải là một hóa thân khác (có lẽ đã được biết đến) của một "trước không đúng"?

Có thể là thực thể này trong một số ý nghĩa được xác định rõ, tuy nhiên đặc biệt, "tương đương" với một rv thống nhất liên tục? Hay tôi vừa phạm tội hồng y (ity)?

Có vẻ như thực tế rằng tên miền là một khoảng thời gian đóng không cho phép tôi đi. Những thứ bị ràng buộc thường có thể quản lý được.

Các câu hỏi rất nhiều để được chỉ định về maelstrom nội bộ- Tôi không yêu cầu nhận được câu trả lời cho từng câu hỏi.

Bất cứ lúc nào tôi có thể đưa ra bất kỳ hiểu biết nào, tôi sẽ cập nhật.

CẬP NHẬT: câu hỏi hiện tại vừa có được phần tiếp theo của kiến ​​trúc sư ở đây.

"Biến ngẫu nhiên" này tương tự như ý tưởng có một căn hộ trước trên toàn bộ dòng thực (ví dụ thứ hai của bạn).

Để chứng minh rằng không thể có biến ngẫu nhiên mà P ( X = q ) = c cho tất cả các q ∈ Q$X$$P(X=q)=c$ và liên tục c , chúng tôi sử dụng σ tài sản -additive của các biến ngẫu nhiên: sự kết hợp đếm được của các sự kiện rời rạc có xác suất bằng tổng (có thể là vô hạn) xác suất của các sự kiện. Vậy, nếu c = 0 , xác suất P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 $q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$$\sigma$$c=0$ , vì nó là tổng của nhiều số không. Nếu c > 0 , sau đó P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = ∞ . Tuy nhiên một biến ngẫu nhiên thích hợp dùng giá trị trong Q ∩ [ 0 , 1 ] phải được như vậy mà P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = 1 , vì vậy không có biến ngẫu nhiên như vậy.$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$

Chìa khóa ở đây, như bạn có thể đã biết, là nếu không gian bao gồm nhiều điểm chính xác, thì chúng ta có thể sử dụng và không có vấn đề gì với tổng, và nếu không gian có vô số điểm bạn có thể có c = 0 và σ -additivity không vi phạm khi tích hợp trong không gian bởi vì nó là một tuyên bố về đếm được mọi thứ. Tuy nhiên, bạn sẽ gặp vấn đề khi bạn muốn phân phối đồng đều trên một tập hợp vô hạn.$c>0$$c=0$$\sigma$

Trong bối cảnh của một Bayesian trước, tuy nhiên, bạn có thể tất nhiên chỉ nói rằng cho tất cả các q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] nếu bạn sẵn sàng để sử dụng trước không đúng.$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

Một thực tế tích cực hơn là sau đây.
Nếu bạn bỏ yêu cầu rằng thước đo xác suất là phụ gia đáng kể, và thay vào đó, chỉ yêu cầu rằng đó là phụ gia hữu hạn (chỉ vì câu hỏi này), thì đối với các số hữu tỷ, câu trả lời là "có".
Những con số hợp lý là một nhóm phụ gia kể từ khi người ta có thể thêm hai số hữu tỉ, có một yếu tố trung lập, không, và bất kỳ có một nghịch đảo phụ - z ∈ Q . Bây giờ, người ta có thể trang bị các số hữu tỷ với cấu trúc liên kết rời rạc để chúng là một nhóm riêng biệt$z\in\mathbb{Q}$$-z\in\mathbb{Q}$
. (Điều này rất quan trọng vì trong các bối cảnh khác, sẽ thuận tiện hơn khi không làm như vậy và đặt một cấu trúc liên kết khác lên chúng.)
Được xem như một nhóm riêng biệt, chúng thậm chí là một nhóm rời rạc có thể đếm được vì chỉ có vô số số hữu tỷ.
Ngoài ra, họ là một nhóm abelian vì cho bất kỳ cặp số hữu tỷ nào. Bây giờ, các số hữu tỷ, được xem như một nhóm rời rạc có thể đếm được, là một nhóm có thể chấp nhận được. Xem ở đây để định nghĩa của một nhóm rời rạc amenable. Ở đây nó được chỉ ra rằng mọi nhóm rời rạc abelian có thể đếm được là có thể chấp nhận được. Đặc biệt, điều này áp dụng cho nhóm các số hữu tỷ. Do đó, theo định nghĩa của một nhóm rất rời rạc tuân theo, có tồn tại một biện pháp khả hữu hạn phụ $z +y =y+z$

$\mu$trên những con số hợp lý đó là dịch bất biến, có nghĩa là đối với bất kỳ tập con A ⊂ Q và bất kỳ số lượng hợp lý z ∈ Q . Khách sạn này bao gồm các cách trực quan xác định "thống nhất". L thiết biến mất trên tất cả các tập con hữu hạn: μ ( { z } ) = 0 cho tất cả z ∈ Q .$\mu(z + A) = \mu(A)$$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$$\mu(\{z\})=0$$z\in\mathbb{Q}$
Nếu bạn tìm kiếm một biến ngẫu nhiên thay vì một biện pháp xác suất, sau đó chỉ cần xem xét các chức năng nhận dạng trên các không gian xác suất . Điều này cho một biến ngẫu nhiên cần thiết như vậy. $(\mathbb{Q}, \mu)$
Do đó, nếu bạn nới lỏng định nghĩa của mình về đo lường xác suất một chút, bạn sẽ có câu trả lời tích cực cho các số hữu tỷ.
Có lẽ, sự tồn tại của có vẻ hơi phản trực giác. Người ta có thể có được một ý tưởng tốt hơn về μ bằng cách tham gia vào tài khoản đó một hậu quả trực tiếp của bản dịch-bất biến là các biện pháp của tất cả các số hữu tỉ mà sàn là thậm chí, là một nửa; Ngoài ra, số đo của những người có sàn lẻ là một nửa, v.v. Đó là biện pháp μ mà chúng ta vừa thấy để tồn tại, cũng nhất thiết phải biến mất trên tất cả các tập con bị chặn (như người ta có thể hiển thị với một cuộc tranh luận tương tự), đặc biệt vào khoảng thời gian đơn vị. Do đó, $\mu$$\mu$
$\mu$
$\mu$không ngay lập tức đưa ra câu trả lời cho các số hữu tỷ trong khoảng đơn vị. Người ta có thể nghĩ rằng câu trả lời dễ dàng hơn để đưa ra các số hữu tỷ trong khoảng đơn vị thay vì tất cả các số hữu tỷ, nhưng dường như là cách khác. CẬP NHẬT: Bạn ngay lập tức có được một thước đo trên các tỷ lệ hợp lý theo đơn vị đồng nhất theo nghĩa đó, bằng cách xem xét các biện pháp đẩy về phía trước của các tỷ lệ, mà chúng tôi đã xây dựng, dọc theo bản đồ từ các tỷ lệ hợp lý đến các tỷ lệ hợp lý giữa các đơn vị mỗi hợp lý để phần phân đoạn của nó. Do đó, sau khi thư giãn yêu cầu gây nghiện hữu hạn, bạn có được các biện pháp như vậy trong cả hai trường hợp bạn đã đề cập.
(Tuy nhiên, dường như người ta cũng có thể đưa ra một phép đo xác suất trên các số hữu tỷ trong khoảng đơn vị có các tính chất tương tự, nhưng câu trả lời sau đó sẽ yêu cầu một định nghĩa chính xác hơn về "tính đồng nhất" - có thể là một cái gì đó dọc theo dòng "dịch- bất biến bất cứ khi nào bản dịch không dẫn ra ngoài khoảng đơn vị ".)