Xây dựng một rv rời rạc có hỗ trợ tất cả các tỷ lệ hợp lý trong

Đây là phần tiếp theo kiến ​​tạo của câu hỏi này .

Nếu chúng ta không thể có một biến ngẫu nhiên thống nhất rời rạc có hỗ trợ tất cả các tỷ lệ hợp lý trong khoảng , thì điều tốt nhất tiếp theo là: $[0,1]$

Xây dựng một biến ngẫu nhiên có hỗ trợ này, và nó tuân theo một số phân phối. Và người thợ trong tôi yêu cầu biến ngẫu nhiên này được xây dựng từ các bản phân phối hiện có, thay vì được tạo ra bằng cách định nghĩa trừu tượng những gì chúng ta mong muốn có được.$Q$$Q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

Vì vậy, tôi đã đưa ra những điều sau đây:

Đặt là biến ngẫu nhiên rời rạc theo Phân phối hình học-Biến thể II với tham số , cụ thể là$X$$0<p<1$

Đặt cũng là một biến ngẫu nhiên rời rạc theo Biến thể hình học-Biến thể I với tham số giống hệt nhau , cụ thể là$Y$$p$

$X$ và là độc lập. Xác định bây giờ biến ngẫu nhiên$Y$

và xem xét phân phối có điều kiện

Trong các từ lỏng lẻo " điều kiện là tỷ lệ của so với điều kiện trên nhỏ hơn hoặc bằng ". Hỗ trợ của phân phối có điều kiện này là .X Y X Y { 0 , 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , . . . , 1 / k , 1 / ( k + 1 ) , . . . , 2 / 3 , 2 / 4 , . . . } = Q ∩ [ 0 , 1 $Q$$X$$Y$$X$$Y$$\{0,1,1/2,1/3,...,1/k,1/(k+1),...,2/3,2/4,...\} = \mathbb{Q}\cap[0,1]$

"Câu hỏi" là: Ai đó có thể vui lòng cung cấp hàm khối lượng xác suất có điều kiện liên quan không?

Một bình luận hỏi "nó có nên ở dạng đóng" không? Vì những gì tạo thành một dạng đóng hiện nay không quá rõ ràng, hãy để tôi đặt nó theo cách này: chúng tôi đang tìm kiếm một dạng hàm để chúng tôi có thể nhập một số hữu tỷ từ và có được xác suất (đối với một số giá trị được chỉ định của tham số tất nhiên), dẫn đến một biểu đồ biểu thị của pmf. Và sau đó thay đổi để xem biểu đồ thay đổi như thế nào.$[0,1]$$p$$p$

Nếu nó giúp, thì chúng ta có thể làm cho một hoặc cả hai giới hạn của hỗ trợ mở ra, mặc dù các biến thể này sẽ làm mất khả năng của chúng ta trong việc xác định biểu đồ giá trị trên và / hoặc thấp hơn của pmf . Ngoài ra, nếu chúng ta mở giới hạn trên, thì chúng ta nên xem xét sự kiện điều hòa .$\{X<Y\}$

Ngoài ra, tôi cũng hoan nghênh các rv khác có (các) hỗ trợ này, miễn là họ kết hợp với pmf của họ .

Tôi đã sử dụng phân phối hình học vì nó đã có sẵn hai biến thể với biến thể không bao gồm 0 trong hỗ trợ (để tránh chia cho 0). Rõ ràng, người ta có thể sử dụng các rv rời rạc khác, sử dụng một số cắt ngắn.

Tôi chắc chắn sẽ đặt tiền thưởng cho câu hỏi này, nhưng hệ thống không cho phép ngay lập tức.

Xem xét phân phối rời rạc có hỗ trợ trên tập với khối lượng xác suất{ ( p , q $F$$\{(p,q)\,|\, q \ge p \ge 1\}\subset \mathbb{N}^2$

Điều này dễ dàng được tóm tắt (tất cả các chuỗi liên quan là hình học) để chứng minh rằng nó thực sự là một phân phối (tổng xác suất là thống nhất).

Đối với bất kỳ số hữu tỷ nào khác hãy để là đại diện của nó theo các số hạng thấp nhất: đó là, và .a / b = x b > 0 gcd ( a , b ) = $x$$a/b=x$$b\gt 0$$\gcd(a,b)=1$

G [ 0 , 1 ] ∩ $F$ tạo ra phân phối rời rạc trên thông qua các quy tắc$G$$[0,1]\cap \mathbb{Q}$

(và ). Mọi số hữu tỷ trong đều có xác suất khác không (Nếu bạn phải bao gồm trong số các giá trị có xác suất dương, chỉ cần lấy một số xác suất từ ​​một số khác - như - và gán cho )( 0 , 1 ] 0 1 $G(0)=0$$(0,1]$$0$$1$$0$

Để hiểu công trình này, hãy xem mô tả này của :$F$

p , q F p / q p q 0 1 G G G ( 1 ) 1 F ( 1 , 1 ) + F ( 2 , 2 ) + F ( 3 , 3 ) + ⋯ 3 / 8 + 3 / 32 + 3 / 128 + ⋯ = 1 /$F$ cho khối lượng xác suất tại tất cả các điểm với tọa độ tích phân dương. Giá trị của được biểu thị bằng các vùng màu của ký hiệu tròn. Các dòng có độ dốc cho tất cả các kết hợp tọa độ và xuất hiện trong cốt truyện. Chúng được tô màu giống như các ký hiệu hình tròn: theo độ dốc của chúng. Do đó, độ dốc (nằm trong khoảng từ đến ) và màu sắc tương ứng với đối số của và các giá trị của có được bằng cách tính tổng các khu vực của tất cả các vòng tròn nằm trên mỗi đường. Chẳng hạn,$p,q$$F$$p/q$$p$$q$$0$$1$$G$$G$$G(1)$thu được bằng cách tính tổng diện tích của tất cả các vòng tròn (màu đỏ) dọc theo đường chéo chính của độ dốc , được cho bởi = .$1$$F(1,1)+F(2,2)+F(3,3)+\cdots$$3/8 + 3/32 + 3/128 + \cdots = 1/2$

Hình này cho thấy một xấp xỉ với đạt được bằng cách giới hạn : nó vẽ các giá trị của nó ở số hữu tỷ từ đến . Khối lượng xác suất lớn nhất là .q ≤ 100 3044 1 / 100 1 $G$$q\le 100$$3044$$1/100$$1$$\frac{1}{2},\frac{3}{14},\frac{1}{10},\frac{3}{62},\frac{3}{62},\frac{1}{42},\ldots$

Dưới đây là CDF đầy đủ của (chính xác với độ phân giải của hình ảnh). Sáu số được liệt kê cho kích thước của các bước nhảy có thể nhìn thấy, nhưng mọi phần của CDF bao gồm các bước nhảy, không có ngoại lệ:$G$

Tôi sẽ đặt ý kiến ​​của mình lại với nhau và gửi chúng như một câu trả lời cho rõ ràng. Tôi hy vọng bạn sẽ không hài lòng, tuy nhiên, vì tất cả những gì tôi làm là giảm vấn đề của bạn sang vấn đề khác.

Ký hiệu của tôi:

Q ∩ [ 0 , 1 ] Q Q $Q$ là một RV mà sự ủng hộ là - tôi là không giống như các cấu trúc OP từ ông . Chúng tôi sẽ xác định này bằng cách sử dụng và , mà tôi giới thiệu bên dưới.$\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$$Q$$Q$ QY$\frac{X}{Y}$$Q$$Y$$f$

N ≡ { 1 , 2 , ... }$Y$ là bất kỳ RV nào có hỗ trợ là - ví dụ: do OP cung cấp sẽ hoạt động.$\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$$Y$

f : N → Q ∩ [ 0 , 1 ] f - $f$ là bất kỳ sự tương ứng một-một nào và là nghịch đảo của nó. Chúng tôi biết những điều này tồn tại.$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$$f^{-1}$

Bây giờ tôi khẳng định tôi có thể giảm vấn đề của bạn xuống chỉ cần tìm một và :f - $f$$f^{-1}$

Chỉ cần để và bạn đã hoàn thành. PMF của là . Q Pr [ Q = q ] = Pr [ Y = f - 1 ( q ) $Q=f\left(Y\right)$$Q$$\Pr[Q =q] = \Pr[Y = f^{-1}(q)]$

Chỉnh sửa:

Đây là một hàm g đóng vai trò của , mặc dù không phải là một tương ứng một-một (vì trùng lặp):$f$

g <- function(y) {
    y <- as.integer(y)
    stopifnot(y >= 1)
    b <- 0
    a <- 0
    for (unused_index in seq(1, y)) {
        if (a >= b) {
            b <- b+1
            a <- 0
        } else {
            a <- a+1
        }
    }
    return(sprintf("q = %s / %s", a, b))
    ## return(a / b)
}