Khoảng tin cậy cho sự khác biệt của phương tiện trong hồi quy

Giả sử tôi có mô hình hồi quy bậc hai với các lỗi

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \epsilon$$ $\epsilon$ thỏa mãn các giả định thông thường (độc lập, bình thường, độc lập với cácgiá trị$X$ ). Đặt$b_0, b_1, b_2$ là ước lượng bình phương nhỏ nhất.

Tôi có hai mới $X$ giá trị $x_1$ và $x_2$ , và tôi đang quan tâm đến việc nhận được một khoảng tin cậy cho $v = E(Y|X = x_2) - E(Y|X=x_1) = \beta_1 (x_2 - x_1) + \beta_2 (x_2^2 - x_1^2)$ .

Ước tính điểm là v = b 1 ( x 2 - x 1 ) + b 2 ( x 2 2 - x 2 1 ) , và (đúng cho tôi nếu tôi sai) Tôi có thể ước lượng phương sai bằng cách s 2 = ( x 2 - x 1 ) 2 Var ( b 1 ) + ( x 2 2 - x 2 1 ) 2 Var$\hat{v} = b_1 (x_2 - x_1) + b_2 (x_2^2 - x_1^2)$

$$\hat{s}^2 = (x_2 - x_1)^2 \text{Var}(b_1) + (x_2^2 - x_1^2)^2 \text{Var}(b_2) + 2 (x_2 - x_1)(x^2 - x_1^2)\text{Cov}(b_1, b_2)$$ sử dụng ước lượng phương sai và hiệp phương sai của các hệ số được cung cấp bởi phần mềm.

Tôi có thể sử dụng một xấp xỉ bình thường và mất v ± 1,96 s là khoảng tin cậy 95% cho v , hoặc tôi có thể sử dụng một khoảng tin cậy bootstrap, nhưng là có một cách để làm việc ra các phân phối chính xác và sử dụng đó?$\hat{v} \pm 1.96 \hat{s}$$v$

$p$$X$$X^2$$n$$\mathbf{X}$$n \times (p+1)$$\hat{\beta}$$p+1$$a \in \mathbb{R}^{p+1}$

$$\frac{a^T\hat{\beta} - a^T \beta}{\hat{\sigma} \sqrt{a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a}} \sim t_{n-p-1}.$$

$\beta$$t$

$p = 2$$a^T = (0, x_2 - x_1, x_2^2 - x_1^2)$$\hat{\sigma}^2$$n-p-1$$n$