Phân phối ổn định có thể được nhân lên?

Phân phối ổn định là bất biến theo kết luận. Những phân họ của các bản phân phối ổn định cũng được đóng theo phép nhân? Theo nghĩa là nếu và , thì hàm mật độ xác suất sản phẩm, (lên đến hằng số chuẩn hóa) cũng thuộc về ?$F$$f\in F$$g\in F$$f \cdot g$$F$

Lưu ý: Tôi đã thay đổi đáng kể nội dung của câu hỏi này. Nhưng ý tưởng về cơ bản là giống nhau, và bây giờ nó đơn giản hơn nhiều. Tôi chỉ có một câu trả lời một phần, vì vậy tôi nghĩ rằng nó ổn.

"Phân phối ổn định" là một loại phân phối theo vị trí cụ thể. Lớp bản phân phối ổn định được tham số hóa bởi hai số thực, các sự ổn định và độ lệch .$\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

Một kết quả được trích dẫn trong bài viết Wikipedia giải quyết câu hỏi này về việc đóng cửa dưới các sản phẩm của các hàm mật độ. Khi là mật độ phân phối ổn định với , thì không có triệu chứng$f$$\alpha \lt 2$

cho một hàm được cung cấp rõ ràng mà chi tiết không quan trọng. (Đặc biệt, sẽ khác không đối với tất cả dương hoặc cả âm hoặc cả hai.) Sản phẩm của bất kỳ hai mật độ như vậy do đó sẽ tỷ lệ thuận với tại ít nhất một cái đuôi. Vì , sản phẩm này (sau khi tái chuẩn hóa) không thể tương ứng với bất kỳ phân phối nào trong cùng một họ ổn định.$g$$g$$x$$x$$|x|^{-2(1+\alpha)}$$2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

(Thật vậy, vì cho mọi khả năng , sản phẩm của ba hàm mật độ như vậy thậm chí không thể là hàm mật độ của bất kỳ phân phối ổn định nào. Điều đó phá hủy mọi hy vọng mở rộng ý tưởng đóng cửa sản phẩm từ một phân phối ổn định duy nhất sang một bộ phân phối ổn định.)$3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$$\alpha^\prime\in(0,2]$

Khả năng duy nhất còn lại là . Đây là các bản phân phối Bình thường, với mật độ tỷ lệ thuận với cho các tham số vị trí và tỷ lệ và . Thật đơn giản để kiểm tra xem một sản phẩm của hai biểu thức như vậy có cùng dạng (bởi vì tổng của hai dạng bậc hai trong là một dạng bậc hai khác trong ).$\alpha=2$$\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$$\mu$$\sigma$$x$$x$

Sau đó , câu trả lời duy nhất là họ phân phối Bình thường là phân phối ổn định đóng mật độ sản phẩm duy nhất.

Tôi biết đây là một câu trả lời một phần và tôi không phải là một chuyên gia, nhưng điều này có thể giúp: nếu một trong hai pdf không chính thống là log-lõm, thì tích chập của chúng là không chính thống. Do Ibragimov (1956) , thông qua những ghi chú này . Rõ ràng, nếu cả hai đều là log-lõm, thì tích chập cũng là log-lõm.

Theo như đóng cửa sản phẩm, kết quả "sạch" duy nhất tôi biết về phân phối sản phẩm là định lý giới hạn được mô tả trong câu trả lời math.se này .

Làm thế nào về một phiên bản rút gọn của những ? Phân phối đồng phục giới hạn là trường hợp giới hạn của tham số hình dạng của nó, và theo như tôi biết thì chúng không đồng nhất và log-lõm nên chúng có các kết cấu không đồng nhất, log-lõm. Tôi không có manh mối về sản phẩm của họ. Khi tôi có nhiều thời gian hơn vào cuối tuần này, tôi có thể thử và chạy một số mô phỏng để xem liệu tôi có nhận được các sản phẩm lõm log của các bản phân phối lỗi bị cắt không. Có lẽ Govindarajulu (1966) sẽ giúp đỡ.

Tôi không chắc chính sách về crossposting là gì, nhưng có vẻ như math.se mọi người cũng có thể giúp bạn. Vì tò mò, bạn đang cố gắng xây dựng một cấu trúc đại số ra khỏi các phân phối xác suất?