Phân phối thương số Rayleigh

Đối với một dự án nghiên cứu, tôi cần tìm giá trị mong đợi của thương số Rayleigh tổng quát: Dưới đây Một và B là xác định xác định dương p x p ma trận hiệp phương sai, và w tuân theo phân phối đa biến với dòng độ cao tròn (nói, tiêu chuẩn bình thường đa biến). Kích thước p lớn hơn 100.

E [w^{T} A w / w^{T} B w] .

$E\,[w^T A w \ / \ w^T B w].$

Vấn đề này rất dễ giải quyết bằng cách sử dụng mô phỏng; tuy nhiên, tôi đã tự hỏi nếu ai đó có thể biết làm thế nào vấn đề này có thể được giải quyết (hoặc gần đúng) một cách phân tích. Ý tưởng đầu tiên của tôi là có thể theo định lý giới hạn trung tâm Lindeberg hoặc Lyapunov cả tử số và mẫu số đều được phân phối bình thường, điều này cho chúng ta một tỷ lệ của hai biến ngẫu nhiên bình thường (tương quan), nhưng mô phỏng cho thấy đó không phải là trường hợp.

distributions expected-value

— Số liệu thống kê
nguồn

Bạn có biết bất cứ điều gì khác về mối quan hệ giữa và hoặc các tính chất vượt ra ngoài sự rõ ràng tích cực không? Theo một cách giải thích nhất định về "phân phối vòng tròn" (nghĩa là bất biến dưới các phép biến đổi trực giao), chúng ta có thể giả sử rằng wlog hoặc hoặc là đường chéo. Không có giả định về sự dứt khoát tích cực của một trong hai thậm chí là cần thiết cho điều đó.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— Đức hồng y

A và B là ma trận tương quan. Chúng khá giống nhau, nhưng không giống nhau.

— liệu thống kê

Có thể sự lựa chọn phân phối vòng tròn của tôi là không lý tưởng. Ý tôi là phân phối elip trong đó các biến ngẫu nhiên w_i là độc lập - ví dụ phân phối chuẩn thông thường.

— liệu thống kê

Trong trường hợp phân phối bình thường, một giải pháp có thể được tìm thấy trong Mathai và Provost, dạng bậc hai trong các biến ngẫu nhiên (1992). Các khoảnh khắc nghịch đảo và sản phẩm của các dạng bậc hai như vậy được lấy từ đó từ hàm tạo mô men.

Các dạng bậc hai trong phân phối elip và các khoảnh khắc của chúng được xử lý ở các dạng Mathai, Provost và Hayakawa, Bilinear và đa thức khu vực (1995), nhưng không mở rộng như trong trường hợp bình thường. Vì các phân phối elip thường được xác định theo chức năng đặc trưng của chúng , hàm này sẽ xuất hiện trong giải pháp nếu người ta chọn cách tiếp cận mgf. Tuy nhiên, nó chưa bao giờ được tính toán, afaik. $e^{it\mu}\xi(t'\Sigma t)$ $\xi$

— Horst Grünbusch
nguồn