Mô phỏng sự hội tụ trong xác suất đến một hằng số

Kết quả tiệm cận không thể được chứng minh bằng mô phỏng máy tính, bởi vì chúng là những phát biểu liên quan đến khái niệm vô cực. Nhưng chúng ta sẽ có thể có được một cảm giác rằng mọi thứ thực sự diễu hành theo cách mà lý thuyết nói với chúng ta.

Hãy xem xét các kết quả lý thuyết

lim_{n \to \infty} P (| X_{n} | > ϵ) = 0, ϵ > 0

$\lim_{n\rightarrow\infty}P(|X_n|>\epsilon) = 0, \qquad \epsilon >0$

Trong đó là hàm của biến ngẫu nhiên, nói phân phối giống hệt và độc lập. Điều này nói rằng hội tụ xác suất bằng không. Ví dụ điển hình ở đây tôi đoán là trường hợp là giá trị trung bình mẫu trừ đi giá trị kỳ vọng chung của iidrv của mẫu, $X_n$ $n$ $X_n$ $X_n$

X_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} - E [Y_{1}]

$X_n = \frac 1n\sum_{i=1}^nY_i - E[Y_1]$

HỎI: Làm thế nào chúng ta có thể thuyết phục một cách thuyết phục với ai đó rằng mối quan hệ trên "hiện thực hóa trong thế giới thực", bằng cách sử dụng kết quả mô phỏng máy tính từ các mẫu nhất định hữu hạn?

Xin lưu ý rằng tôi đặc biệt chọn sự hội tụ đến một hằng số .

Tôi cung cấp dưới đây cách tiếp cận của tôi như là một câu trả lời, và tôi hy vọng cho những người tốt hơn.

CẬP NHẬT: Một cái gì đó ở phía sau đầu làm phiền tôi - và tôi đã tìm ra cái gì. Tôi đã đưa ra một câu hỏi cũ hơn trong đó một cuộc thảo luận thú vị nhất đã diễn ra trong các bình luận cho một trong những câu trả lời . Trong đó, @Cardinal đã cung cấp một ví dụ về công cụ ước tính rằng nó phù hợp nhưng phương sai của nó vẫn khác không và hữu hạn không có triệu chứng. Vì vậy, một biến thể khó khăn hơn của câu hỏi của tôi trở thành: làm thế nào để chúng ta thể hiện bằng cách mô phỏng rằng một thống kê hội tụ xác suất thành một hằng số, khi thống kê này duy trì phương sai không khác và hữu hạn không có triệu chứng?

— Alecos Papadopoulos
nguồn

@Glen_b Đến từ bạn, đây là tương đương với một huy hiệu. Cảm ơn.

— Alecos Papadopoulos

Đã suy nghĩ về điều này mọi lúc và sau đó và tất cả những gì tôi nghĩ ra là 'sự tập trung xung quanh ý nghĩa'; Tôi hy vọng một số người thông minh ở đây có thời gian để viết một cái gì đó thú vị! (Tất nhiên là +1!)

— ekvall

$P()$ $|X_n|$ $n$ $|X_n|$

$|X_n|$ $n$

$Y_i$ $m$ $m$ $n$ $n$ $|X_n|$ $n$ $\{|x_{1n}|, |x_{2n}|,...,|x_{mn}|\}$

$|X_n|$

$|X_n|$ $2n$ $\epsilon$

$n$

$90$ $\epsilon$

MỘT VÍ DỤ

$Y_i$ $U(0,1)$

| X_{n} | = | \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} - \frac{1}{2} |

$|X_n| = \left|\frac 1n\sum_{i=1}^nY_i - \frac 12\right|$

$m=1,000$ $n=10,000$ $|X_{10,000}|$ nhập mô tả hình ảnh ở đây

$90.10$ $|X_{10,000}|$ $0.0046155$

$n=20,000$ $|X_{20,000}|$ nhập mô tả hình ảnh ở đây $91.80$ $|X_{20,000}|$ $0.0037101$ $98.00$ $0.0045217$

Bạn sẽ bị thuyết phục bởi một cuộc biểu tình như vậy?

— Alecos Papadopoulos
nguồn

10^{1000}

$10^{1000}$

@whuber Những gì bạn viết nghe có vẻ rất thú vị. Những mô phỏng này bạn đã đề cập dựa trên một số dữ liệu thực tế ban đầu, từ đó phân phối nơi ước tính và sau đó dữ liệu nhân tạo bổ sung được tạo ra? Hay đó là nhân tạo ngay từ đầu? Nếu tính bảo mật không phải là vấn đề và thời gian cho phép, cá nhân tôi rất muốn thấy câu trả lời của bạn cung cấp một cái nhìn thoáng qua về cách các mô phỏng này phát triển và lý do vẫn còn nghi ngờ.

— Alecos Papadopoulos

N

$N$

(1 / 2)

$(1/2)$

(N, 1 / 2)

$(N,1/2)$

N

$N$

(N / 2, \sqrt{N} / 2)

$(N/2, \sqrt{N}/2)$

1000

$1000$

@Whuber Cảm ơn, tôi sẽ làm việc với nó. Nhân tiện, câu hỏi mà bạn đề cập, câu trả lời trong đó và ý kiến của bạn, đã khiến tôi phải điều tra sâu hơn cả sự phân bố tiệm cận của phương sai mẫu từ các mẫu không bình thường, cũng như khả năng áp dụng định lý của Slutsky theo cách đó được sử dụng trong câu trả lời. Tôi hy vọng tôi cuối cùng sẽ có một số kết quả để chia sẻ.

— Alecos Papadopoulos