Làm thế nào để lấy được phân phối Poisson từ phân phối gamma?

Hãy $T_1, T_2, \dots$ được chuỗi iid của các biến ngẫu nhiên hàm mũ với tham số $\lambda$ . Tổng $S_n = T_1 + T_2 + \dots + T_n$ là một phân phối Gamma. Bây giờ theo tôi hiểu phân phối Poisson được định nghĩa bởi $N_t$ như sau:

N_{t} = max {k : S_{k} \leq t}

$N_t = \max\{k: S_k \le t\}$

Làm thế nào để tôi chính thức chỉ ra rằng là biến ngẫu nhiên Poisson? $N_t$

Bất kỳ đề nghị đánh giá cao. Tôi đã cố gắng đưa ra một số bằng chứng nhưng không thể đi đến phương trình cuối cùng.

Người giới thiệu

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

— người dùng862
nguồn

@ user862, bằng chứng tôi biết ngoài tầm tay không đặc biệt trực tiếp. Durrett có một dẫn xuất trong cuốn sách xác suất của mình khá sạch sẽ. Tôi mất 3-4 trang, tôi nghĩ vậy; mà, nếu bạn đã đọc bất kỳ cuốn sách nào của anh ấy, là một bằng chứng dài theo tiêu chuẩn của anh ấy. Resnick có một cách tiếp cận trừu tượng hơn một chút trong văn bản quy trình ngẫu nhiên của mình. Xây dựng và sử dụng búa lớn hơn cho phép anh ta có được kết quả chung hơn, mặc dù. Ross chắc chắn có một điều trị trong cuốn sách quy trình ngẫu nhiên của mình, nhưng tôi không quen thuộc với nó.

— Đức hồng y

Tìm thấy bằng chứng trong cuốn sách của Durrett. Nó được giải thích thực sự rõ ràng. Cảm ơn các con trỏ.

— user862

Tôi chắc chắn rằng bằng chứng của Durrett là tốt đẹp. Một giải pháp thẳng về phía trước cho câu hỏi được hỏi là như sau.

Đối với $n \geq 1$

\begin{array}{rcl} P (N_{t} = n) & = & \int_{0}^{t} P (S_{n + 1} > t ∣ S_{n} = s) P (S_{n} \in d s) \\ = & \int_{0}^{t} P (T_{n + 1} > t - s) P (S_{n} \in d s) \\ = & \int_{0}^{t} e^{- λ (t - s)} \frac{λ^{n} s^{n - 1} e^{- λ s}}{(n - 1)!} d s \\ = & e^{- λ t} \frac{λ^{n}}{(n - 1)!} \int_{0}^{t} s^{n - 1} d s \\ = & e^{- λ t} \frac{(λ t)^{n}}{n!} \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(N_t = n) & = & \int_0^t P(S_{n+1} > t \mid S_n = s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t P(T_{n+1} > t-s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t e^{-\lambda(t-s)} \frac{\lambda^n s^{n-1} e^{-\lambda s}}{(n-1)!} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{\lambda^n }{(n-1)!} \int_0^t s^{n-1} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!} \end{array}$

Với ta có . $n = 0$ $P(N_t = 0) = P(T_1 > t) = e^{-\lambda t}$

Điều này không chứng minh rằng là một quá trình Poisson, khó hơn, nhưng nó cho thấy phân phối biên của là Poisson với nghĩa là . $(N_t)_{t \geq 0}$ $N_t$ $\lambda t$

— NRH
nguồn

(+1) Việc thu hút mật độ có điều kiện không thực sự cần thiết ở đây. Lưu ý rằng và chúng tôi chỉ cần tích hợp mật độ khớp trên khu vực . Vì và là độc lập, đây là một công việc đơn giản.

P (N_{t} = n) = P (S_{n} \leq t, S_{n + 1} > t) = P (S_{n} \leq t, S_{n} + T_{n + 1} > t)

$\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\Pr(N_t = n) = \Pr(S_n \leq t, S_{n+1} > t) = \Pr(S_n \leq t, S_n + T_{n+1} > t)$

{(s_{n}, t_{n + 1}) : 0 \leq s_{n} \leq t, t_{n + 1} > t - s_{n}} \subset R^{2}

$\{(s_n, t_{n+1}): 0 \leq s_n \leq t, t_{n+1} > t - s_n\} \subset \mathbb{R}^2$

S_{n}

$S_n$

T_{n + 1}

$T_{n+1}$

— Đức hồng y

@cardinal - và câu trả lời của @ NRH không đơn giản như thế nào? Trong thực tế tôi sẽ nói nó dễ dàng hơn, bởi vì chỉ cần 1 tích hợp.

— xác suất

@probabilityislogic: Tài liệu tham khảo "đơn giản" của tôi chỉ là một nhận xét về tính toán còn lại không được hiển thị trong nhận xét của tôi. Điều đó không có nghĩa trong bất kỳ ý nghĩa tương đối nào đối với câu trả lời của @ NRH.

— Đức hồng y

@probabilityislogic: Có khá nhiều lý thuyết (bổ sung) ẩn trong hai dòng đầu tiên của bằng chứng @ NRH. Quan điểm của nhận xét của tôi là chúng ta có thể nhận được kết quả tương tự bằng cách chỉ sử dụng các barebones của phân phối xác suất chung, cụ thể là chỉ số đo sản phẩm. Theo quan điểm của tôi, đây là một cơ sở đơn giản hơn cho việc tính toán hơn là đưa ra kỳ vọng có điều kiện và sự biện minh cần thiết để đi từ dòng một đến hai câu trả lời của @ NRH. Tôi không có nghĩa là chỉ trích theo bất kỳ cách nào, ý định của tôi chỉ là cung cấp một phương pháp thay thế.

— Đức Hồng Y