CDF hai mẫu của

Tôi đang cố gắng hiểu làm thế nào để đạt được giá trị $p$ cho thử nghiệm Kolmogorov-Smirnov một phía và đang vật lộn để tìm CDF cho $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ và $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ trong trường hợp hai mẫu. Dưới đây được trích dẫn ở một vài nơi là CDF cho $D^{+}_{n}$ trong trường hợp một mẫu:

$$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$$

Ngoài ra, whuber sez có một công thức hơi khác của CDF một mẫu này (Tôi thay thế cho trong trích dẫn của anh ấy để thống nhất với ký hiệu của tôi ở đây):$x$$t$

Sử dụng biến đổi tích phân xác suất, Donald Knuth lấy được phân phối (phổ biến) của chúng trên p. 57 và bài tập 17 của TAoCP Tập 2. Tôi xin trích dẫn:

$$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$$

Điều này sẽ áp dụng cho các giả thuyết một phía trong trường hợp một mẫu, chẳng hạn như: H $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$ , trong đó $F(x)$ là CDF theo kinh nghiệm của $x$ và $F_{0}$ là một số CDF.

Tôi nghĩ rằng các trong trường hợp này là giá trị của trong mẫu của một người, và rằng là số nguyên lớn nhất trong . (Có đúng không?)$x$$D^{+}_{n}$$\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$$n-nx$

Nhưng CDF cho (hoặc ) là gì khi một có hai mẫu? Ví dụ: khi H cho các CDF theo kinh nghiệm của và ? Làm cách nào để có được ?$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$$_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$$A$$B$$p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

Ok, tôi sẽ có một đâm ở đây. Những hiểu biết quan trọng chào đón.

Trên trang 192 Gibbons và Chakraborti (1992), trích dẫn Hodges, 1958, bắt đầu với một CDF mẫu nhỏ (chính xác?) Cho thử nghiệm hai mặt (Tôi đang hoán đổi ký hiệu và cho và , tương ứng):$m,n$$d$$n_{1},n_{2}$$x$

$$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$$

Trong đó được tạo ra thông qua việc liệt kê các đường dẫn (tăng đơn điệu trong và ) từ điểm gốc đến điểm thông qua một biểu đồ với thay thế cho giá trị của x -axis và y -axis là và . Ngoài ra, các đường dẫn phải tuân theo các ràng buộc của việc ở bên trong các ranh giới (trong đó là giá trị của thống kê kiểm tra Kolmogorov - Smirnov):$A\left(n_{1},n_{2}\right)$$n_{1}$$n_{2}$$\left(n_{1},n_{2}\right)$$S_{m}(x)$$F_{n_{1}}(x)$$n_{1}F_{1}\left(x\right)$$n_{2}F_{2}\left(x\right)$$x$

$$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$$

Dưới đây là hình ảnh của họ Hình 3.2 cung cấp một ví dụ cho , với 12 đường dẫn như vậy:$A(3,4)$

Gibbons và Chakaborti tiếp tục nói rằng giá trị một phía có được bằng cách sử dụng cùng phương thức đồ họa này, nhưng chỉ với giới hạn dưới cho và chỉ phần trên cho .$p$$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

Những cách tiếp cận mẫu nhỏ này đòi hỏi các thuật toán liệt kê đường dẫn và / hoặc quan hệ lặp lại, chắc chắn sẽ thực hiện các tính toán tiệm cận mong muốn. Gibbons và Chakraborti cũng lưu ý các CDF giới hạn là và tiếp cận vô hạn, của :$n_{1}$$n_{2}$$D_{n_{1},n_{2}}$

$$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$$

Và họ đưa ra CDF giới hạn của (hoặc ) là:$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

$$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$$

Vì và hoàn toàn không âm, CDF chỉ có thể lấy các giá trị khác không trên :$D^{+}$$D^{-}$$[0,\infty)$

Tài liệu tham khảo
Gibbons, JD và Chakraborti, S. (1992). Suy luận thống kê không đối xứng . Marcel Decker, Inc., phiên bản thứ 3, phiên bản sửa đổi và mở rộng.

Hodges, JL (1958). Xác suất quan trọng của thử nghiệm hai mẫu Smirnov. Arkiv for mHRatik . 3 (5): 469--486.