Tính kích thước hiệu ứng và sai số chuẩn cho chênh lệch giữa hai chênh lệch trung bình chuẩn

Tôi có hai câu hỏi liên quan, cả hai câu hỏi đều liên quan đến phân tích tổng hợp mà tôi đang thực hiện trong đó các kết quả chính được biểu thị theo sự khác biệt trung bình được tiêu chuẩn hóa.

Các nghiên cứu của tôi có nhiều biến có sẵn để tính toán sự khác biệt trung bình được tiêu chuẩn hóa. Tôi muốn biết mức độ khác biệt trung bình được tiêu chuẩn hóa được tính trên một biến phù hợp với sự khác biệt trung bình được tiêu chuẩn hóa trên biến khác. Theo tôi, câu hỏi này có thể được thể hiện dưới dạng phân tích tổng hợp về sự khác biệt giữa hai bộ khác biệt trung bình được tiêu chuẩn hóa. Tuy nhiên, tôi gặp khó khăn trong việc xác định kích thước hiệu ứng và lỗi lấy mẫu cho sự khác biệt giữa hai khác biệt trung bình được tiêu chuẩn hóa trong cùng một nghiên cứu.

Để diễn đạt vấn đề của tôi theo một cách khác, hãy xem xét một nghiên cứu hai điều kiện với các nhóm và và các biến kết quả và . Hai biến kết quả này có mối tương quan là . Chúng tôi có thể tính toán sự khác biệt trung bình được tiêu chuẩn hóa cho và trên và , mang lại , và phương sai lấy mẫu của họ và . Tôi đã bao gồm một sơ đồ rất đơn giản về tình huống dưới đây. $g_1$ $g_2$ $var_1$ $var_2$ $cor(var_1, var_2)$ $var_1$ $var_2$ $g_1$ $g_2$ $d_{var1}$ $d_{var_2}$ $v_{d_{var_1}}$ $v_{d_{var_2}}$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Bây giờ hãy nói rằng chúng tôi tính toán sự khác biệt giữa và là . Tôi có thể tính toán sự khác biệt trung bình được tiêu chuẩn hóa giữa và là , có phương sai lấy mẫu . $var_1$ $var_2$ $diff$ $g_1$ $g_2$ $d_{diff}$ $v_{d_{diff}}$

Những gì tôi muốn làm là thể hiện và theo các biến sau: $d_{diff}$ $v_{d_{diff}}$

Kích thước hiệu ứng và , $d_{var_1}$ $d_{var_2}$
Phương sai lấy mẫu và và $v_{d_{var_1}}$ $v_{d_{var_2}}$
Tương quan $cor(var_1, var_2)$

Tôi cảm thấy như mục tiêu này có thể được đưa ra thực tế là, trong bối cảnh đơn giản (không phân tích tổng hợp), độ lệch chuẩn của sự khác biệt giữa và được đưa ra là $var_1$ $var_2$

$sd(var_1)^2 + sd(var_2)^2 - 2 * cor(var_1, var_2) * sd(var_1) * sd(var_2)$

Tôi cũng quan tâm đến một tình huống phức tạp hơn một chút trong đó một người có nghiên cứu với 3 (hoặc nhiều hơn) nhóm và do đó, một người sẽ tính hai bộ khác biệt trung bình được tiêu chuẩn hóa giữa hai biến số ứng viên.

Để diễn đạt câu hỏi thứ hai này theo một cách khác, giả sử rằng một nghiên cứu nhất định có ba nhóm , và và hai biến kết quả và . Hơn nữa, giả sử một lần nữa rằng và có tương quan như . $g_1$ $g_2$ $g_3$ $var_1$ $var_2$ $var_1$ $var_2$ $cor(var_1, var_2)$

Chọn nhóm làm nhóm tham chiếu và, đối với , hãy tính kích thước hiệu ứng cho nhóm so với và so với . Điều này sẽ mang lại hai bộ kích thước hiệu ứng cho từng và - cho , và và, cho , và . Điều này cũng sẽ mang lại hai phương sai lấy mẫu cho từng nhóm kích thước hiệu ứng (đối với , và $g_1$ $var_1$ $g_1$ $g_2$ $g_1$ $g_3$ $var_1$ $var_2$ $var_1$ $d_{var1_{g_1 - g_2}}$ $d_{var1_{g_1 - g_3}}$ $var_2$ $d_{var2_{g_1 - g_2}}$ $d_{var2_{g_1 - g_3}}$ $var_1$ $v_{d_{var1_{g_1 - g_2}}}$ $v_{d_{var1_{g_1 - g_3}}}$ và, đối với , và ) và một hiệp phương thức lấy mẫu cho mỗi biến (cho , và, đối với , ). Tôi đã bao gồm một sơ đồ rất đơn giản về tình huống dưới đây. $var_2$ $v_{d_{var2_{g_1 - g_2}}}$ $v_{d_{var2_{g_1 - g_3}}}$ $var_1$ $cov(d_{var1_{g_1 - g_2}}, d_{var1_{g_1 - g_3}})$ $var_2$ $cov(d_{var2_{g_1 - g_2}}, d_{var2_{g_1 - g_3}})$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Một lần nữa, tôi có thể tạo điểm số chênh lệch giữa và , mang lại . Sau đó, tôi có thể tính hai bộ kích thước hiệu ứng trên điểm số chênh lệch này như trên, tính toán mức chênh lệch trung bình được tiêu chuẩn hóa để so sánh giữa và (mang lại ) và sự khác biệt trung bình được chuẩn hóa để so sánh giữa và (mang lại . Tất nhiên, quy trình này cũng sẽ mang lại phương sai lấy mẫu và hiệp phương sai tương ứng. $var_1$ $var_2$ $diff$ $g_1$ $g_2$ $d_{diff_{g_1 - g_2}}$ $g_1$ $g_3$ $d_{diff_{g_1 - g_3}})$

Những gì tôi muốn là thể hiện kích thước hiệu ứng, phương sai lấy mẫu và hiệp phương sai lấy mẫu cho về: $diff$

Kích thước hiệu ứng , , và $d_{var1_{g_1 - g_2}}$ $d_{var1_{g_1 - g_3}}$ $d_{var2_{g_1 - g_2}}$ $d_{var2_{g_1 - g_3}}$
Phương sai lấy mẫu , , và , $v_{d_{var1_{g_1 - g_2}}}$ $v_{d_{var1_{g_1 - g_3}}}$ $v_{d_{var2_{g_1 - g_2}}}$ $v_{d_{var2_{g_1 - g_3}}}$
Lấy mẫu hiệp phương sai và , và $cov(d_{var1_{g_1 - g_2}}, d_{var1_{g_1 - g_3}})$ $cov(d_{var2_{g_1 - g_2}}, d_{var2_{g_1 - g_3}})$
Tương quan $cor(var_1, var_2)$

Một lần nữa, tôi cảm thấy mục tiêu của mình là khả thi khi có thể tính được độ lệch chuẩn của điểm số chênh lệch giữa và cho , và . $var_1$ $var_2$ $sd(var_1)$ $sd(var_2)$ $cor(var_1, var_2)$

Tôi nhận ra rằng các câu hỏi của tôi hơi phức tạp, nhưng tôi cảm thấy như chúng có thể được trả lời với một chút đại số thông minh. Hãy cho tôi biết nếu tôi có thể làm rõ câu hỏi và / hoặc ký hiệu của mình bằng bất kỳ cách nào.

standard-error meta-analysis effect-size

— Patrick S. Forscher
nguồn

Câu trả lời:

Tôi chắc chắn có thể cung cấp cho bạn một câu trả lời cho phần đầu tiên của câu hỏi của bạn.

Sử dụng ký hiệu của bạn, hãy để và biểu thị hai giá trị d (được tính cho hai nhóm giống nhau) dựa trên hai biến phụ thuộc khác nhau và để và biểu thị các phương sai lấy mẫu tương ứng, thường được tính toán / ước tính với: và trong đó và là hai nhóm kích cỡ. $d_{var_1}$ $d_{var_2}$ $v_{var_1}$ $v_{var_2}$

v_{v một r_{1}} = = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} + \frac{d_{v một r_{1}}^{2}}{2 (n_{1} + n_{2})}

$v_{var_1} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{d_{var_1}^2}{2(n_1 + n_2)}$

v_{v một r_{2}} = = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} + \frac{d_{v một r_{2}}^{2}}{2 (n_{1} + n_{2})},

$v_{var_2} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{d_{var_2}^2}{2(n_1 + n_2)},$

n_{1}

$n_1$

n_{2}

$n_2$

Đặt biểu thị mối tương quan giữa hai biến. Sau đó, hiệp phương sai giữa hai giá trị d có thể được ước tính bằng:Xem phương trình (19,27) trong chương về kích thước hiệu ứng phụ thuộc ngẫu nhiên của Gleser và Olkin (2009) trong Sổ tay tổng hợp nghiên cứu và phân tích tổng hợp (tái bản lần 2). $r = cor(var_1, var_2)$

c o v (d_{v một r_{1}}, d_{v một r_{2}}) = = (\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}) r + (\frac{d_{v một r_{1}} d_{v một r_{2}}}{2 (n_{1} + n_{2})}) r^{2} .

$cov(d_{var_1}, d_{var_2}) = \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)r + \left(\frac{d_{var_1}d_{var_2}}{2(n_1 + n_2)} \right)r^2.$

Do đó, phương sai lấy mẫu của có thể được tính / ước tính với:

d_{d Tôi f f} = = d_{v một r_{1}} - d_{v một r_{2}}

$d_{diff} = d_{var_1} - d_{var_2}$

v_{d_{d Tôi f f}} = = v_{v một r_{1}} + v_{v một r_{2}} - 2 c o v (d_{v một r_{1}}, d_{v một r_{2}}) .

$v_{d_{diff}} = v_{var_1} + v_{var_2} - 2 cov(d_{var_1}, d_{var_2}).$

Chương của Gleser và Olkin cũng phần nào giải quyết câu hỏi thứ hai của bạn. Về cơ bản, bạn có cái mà các tác giả gọi là 'nghiên cứu đa trị liệu' và họ cũng cung cấp các phương trình cho hiệp phương sai trong trường hợp đó (xem Kỳ vọng về các biến tương quan ). Tuy nhiên, trường hợp của bạn thực sự là sự kết hợp của trường hợp 'đa trị' và 'đa điểm'. Xuất phát các phương trình hiệp phương sai cần thiết sẽ yêu cầu một số công việc bổ sung.

— Wolfgang
nguồn

Có phải đó cũng là trường hợp chỉ đơn giản là - , hay số lượng này cũng bị ảnh hưởng bởi ?

d_{d i f f}

$d_{diff}$

d_{v a r_{1}}

$d_{var_1}$

d_{v a r_{2}}

$d_{var_2}$

c o r (v a r_{1}, v a r_{2})

$cor(var_1, var_2)$

— Patrick S. Forscher

Vâng, chỉ cần có sự khác biệt. Mối tương quan chỉ liên quan để tính toán phương sai lấy mẫu của .

d_{d i f f}

$d_{diff}$

— Wolfgang

Tuyệt quá! Bạn có tình cờ biết được cách tiếp cận nào để giải quyết câu hỏi thứ hai của mình không? Tôi biết từ Gleser và Olkin rằng hiệp phương sai giữa và là , nhưng tôi không rõ cách sử dụng thông tin này để có được hiệp phương sai giữa hai kích thước hiệu ứng cho .

d_{g_{1} - g_{2}}

$d_{g_1 - g_2}$

d_{g_{1} - g_{3}}

$d_{g_1 - g_3}$

1 / n_{g_{1}} + (d_{g_{1} - g_{2}} * d_{g_{1} - g_{3}}) / (2 * (n_{g_{1}} + n_{g_{2}} + n_{g_{3}}))

$1/n_{g_1} + (d_{g_1 - g_2} * d_{g_1 - g_3}) / (2 * (n_{g_1} + n_{g_2} + n_{g_3}))$

d_{d i f f}

$d_{diff}$

— Patrick S. Forscher

Nếu bạn không biết giải pháp đầy đủ, tôi sẽ rất vui khi có ý tưởng chung về cách tôi sẽ điều tra vấn đề này.

— Patrick S. Forscher

Bạn sẽ phải quay lại đạo hàm của các hiệp phương sai đó và xem liệu bạn có thể khái quát hóa / kết hợp hai trường hợp (nhiều nhóm và nhiều điểm cuối). Một bản phác thảo ngắn gọn về cách hiệp phương sai cho trường hợp nhiều điểm cuối có thể được tìm thấy trong phần phụ lục của Rosenthal và Rubin (1986) . Tôi không biết về một tài liệu tham khảo bao gồm nhiều trường hợp nhóm.

— Wolfgang

Câu hỏi này có thể được trả lời bằng cách sử dụng phương pháp mô hình hóa phương trình cấu trúc (SEM). Nó có thể được sử dụng miễn là kích thước hiệu ứng là các chức năng của các tham số, chẳng hạn như phương tiện, tương quan và độ lệch chuẩn. Ma trận hiệp phương sai lấy mẫu được lấy bằng số bằng cách sử dụng phương pháp Delta tự động trong SEM. Chương 3 của Cheung (2015) cung cấp một giới thiệu và ví dụ trong phương pháp này.

Một trong những ví dụ được sử dụng trong cuốn sách là các nghiên cứu đa điểm điều trị. Dưới đây là cú pháp và đầu ra trong R.

###################################################
### code chunk number 8: ME_MT
###################################################

## Load the library for SEM
library(lavaan)

## Covariance matrix of the control group for variables 1 and 2
lower <- '11          
          5, 10'
## Convert a lower triangle data into a covariance matrix
Cov1 <- getCov(lower, diag=TRUE, names=c("x1", "x2"))

## Covariance matrix of the treatment group 1 for variables 1 and 2
lower <- '12          
          6, 11'
Cov2 <- getCov(lower, diag=TRUE, names=c("x1", "x2"))

## Covariance matrix of the treatment group 2 for variables 1 and 2
lower <- '13          
          7, 12'
Cov3 <- getCov(lower, diag=TRUE, names=c("x1", "x2"))

## Convert covariance matrices into a list
Cov <- list(Cov1, Cov2, Cov3)

## Means for the three groups
## 10 and 11 are the means for variables 1 and 2
Mean <- list(c(10,11), c(12,13), c(13,14))

## Sample sizes for the groups
N <- c(50, 50, 50)

## Assuming homogeneity of covariance matrices
## You can free this constraint by using different labels
model5 <- 'eta1 =~ c("sd1", "sd1", "sd1")*x1
           eta2 =~ c("sd2", "sd2", "sd2")*x2
           eta1 ~~ c("r", "r", "r")*eta2
           ## The subscripts 0, 1 and 2 represent the means
           ##  of the control and two  treatment groups
           x1 ~ c("m1_0", "m1_1", "m1_2")*1
           x2 ~ c("m2_0", "m2_1", "m2_2")*1
           ## The measurement errors are fixed at 0
           x1 ~~ 0*x1
           x2 ~~ 0*x2
           ## Multiple endpoint effect size 1 for treatment group 1
           ES1_1 := (m1_1 - m1_0)/sd1
           ## Multiple endpoint effect size 2 for treatment group 1
           ES2_1 := (m2_1 - m2_0)/sd2
           ## Multiple endpoint effect size 1 for treatment group 2
           ES1_2 := (m1_2 - m1_0)/sd1
           ## Multiple endpoint effect size 2 for treatment group 2
           ES2_2 := (m2_2 - m2_0)/sd2'

fit5 <- sem(model5, sample.cov=Cov, sample.mean=Mean, 
            sample.nobs=N, std.lv=TRUE, 
            sample.cov.rescale=FALSE)

## Obtain the free parameters in the model
( x <- fit5@Fit@x )

## [1]  3.464102  3.316625  0.522233 10.000000 11.000000 12.000000 13.000000
## [8] 13.000000 14.000000    

## Obtain the sampling covariance matrix of the parameter estimates
VCOV <- vcov(fit5)

## Compute the multivariate effect sizes
( ES <- fit5@Model@def.function(x=x) )
##     ES1_1     ES2_1     ES1_2     ES2_2 
## 0.5773503 0.6030227 0.8660254 0.9045340

## Compute the jacobian for 'defined parameters'
JAC <- lavaan:::lavJacobianD(func=fit5@Model@def.function, x=x)

## Compute the sampling covariance matrix using delta method
ES.VCOV <- JAC %*% VCOV %*% t(JAC)

## Add the variable names for ease of reference
dimnames(ES.VCOV) <- list(names(ES), names(ES))

ES.VCOV
##            ES1_1      ES2_1      ES1_2      ES2_2
## ES1_1 0.04111111 0.02120582 0.02166667 0.01091942
## ES2_1 0.02120582 0.04121212 0.01091942 0.02181818
## ES1_2 0.02166667 0.01091942 0.04250000 0.02160145
## ES2_2 0.01091942 0.02181818 0.02160145 0.04272727

Trong ví dụ này, vectơ ước tính của kích thước hiệu ứng là ma trận hiệp phương sai lấy mẫu của chúng lần lượt là ES và ES.VCOV. ES1_1 và ES2_1 là kích thước hiệu ứng cho nhóm 1 so với nhóm kiểm soát, trong khi ES1_2 và ES2_2 là kích thước hiệu ứng nhóm 2 so với nhóm kiểm soát.

Tài liệu tham khảo

Cheung, MW-L. (2015). Phân tích tổng hợp: Một phương pháp mô hình hóa phương trình cấu trúc . Chichester, West Sussex: John Wiley & Sons, Inc ..

— Mike Cheung
nguồn

Cảm ơn đã chia sẻ phương pháp thú vị này! Khi tôi cố chạy các dòng sau: ( ES <- fit5@Model@def.function(x=x) )và JAC <- lavaan:::lavJacobianD(func=fit5@Model@def.function, x=x)tôi gặp lỗi xkhông tồn tại.

— Patrick S. Forscher

Ngoài ra, ví dụ của bạn dường như cho thấy rằng, đối với phương pháp này để làm việc, tôi cần phải biết mối tương quan / hiệp phương sai giữa var1và var2bên trong g1, g2và g3. Đây có phải là trường hợp? Thông thường trong các nghiên cứu Tôi đang làm việc với, chỉ có tương quan tổng thể (sụp đổ qua g1, g2và g3) được báo cáo.

— Patrick S. Forscher

Cuối cùng, cách tiếp cận này có hiệu quả trong trường hợp hai nhóm không, ví dụ tôi không biết phương tiện và độ lệch chuẩn cho và , nhưng có thể trích xuất trực tiếp kích thước hiệu ứng và từ, ví dụ: -tests báo cáo trong bài báo trong câu hỏi?

v a r_{1}

$var_1$

v a r_{2}

$var_2$

d_{v a r_{1}}

$d_{var_1}$

d_{v a r_{2}}

$d_{var_2}$

— Patrick S. Forscher

Cảm ơn, Patrick. Tôi đã thêm dòng bị thiếu: (x <- fit5 @ Fit @ x). Vì kích thước hiệu ứng là các chức năng của phương tiện, phương sai và hiệp phương sai, phương pháp này cần các yếu tố này. Nếu một số yếu tố này không có sẵn, bạn có thể cần phải tìm cách tiếp cận khác ...

— Mike Cheung

Xin chào Mike, tôi hy vọng bạn vẫn đang theo dõi chủ đề này. Tôi quan tâm đến cách tiếp cận của bạn, vì vậy tôi đã thử mô phỏng một số dữ liệu ba nhóm với hai biến (mã được dán trong bình luận bên dưới). Khi tôi so sánh cách tiếp cận của bạn với một số tính toán thủ công, tôi đã thu được các kích thước hiệu ứng giống hệt nhau nhưng các lỗi lấy mẫu khác nhau về kích thước hiệu ứng. Theo như tôi có thể nói, tôi đang sử dụng mã của bạn và các công thức chính xác cho phương sai lấy mẫu. Có ai biết cái gì đang xảy ra không?

— Patrick S. Forscher 3/2/2015

Tôi không hoàn toàn chắc chắn làm thế nào giải pháp này được bắt nguồn, nhưng tôi nghĩ rằng dù sao tôi cũng sẽ đăng nó để người khác có thể đánh giá nó. Tôi cũng nghĩ rằng thông tin này đáng để đăng dưới dạng một câu trả lời đầy đủ thay vì để nó bị chôn vùi trong các bình luận của câu trả lời được cung cấp bởi @Wolfgang.

Theo phản hồi mà Ian White cung cấp tương ứng với tôi, đã đưa ra các nhóm , và và giả sử rằng độ lệch chuẩn được sử dụng để tính kích thước hiệu ứng của một người được gộp trong , và , $g_1$ $g_2$ $g_3$ $g_1$ $g_2$ $g_3$

c o v (d_{d Tôi f f_{g_{1} - g_{2}}}, d_{d Tôi f f_{g_{1} - g_{3}}}) = = \frac{r}{n_{1}} + \frac{d_{d Tôi f f_{g_{1} - g_{2}}} * d_{d Tôi f f_{g_{1} - g_{3}}} * r^{2}}{(2 * (n_{1} + n_{2} + n_{3}))}

$cov(d_{diff_{g_1 - g_2}}, d_{diff_{g_1 - g_3}}) = \frac{r}{n_1} + \frac{d_{diff_{g_1 - g_2}} * d_{diff_{g_1 - g_3}} * r^2}{(2 * (n_1 + n_2 + n_3))}$

Một lần nữa, tôi không hoàn toàn chắc chắn làm thế nào giải pháp này được bắt nguồn, và tôi sẽ biết ơn bất kỳ cái nhìn sâu sắc nào mà người khác có thể cung cấp.

— Patrick S. Forscher
nguồn