Loại phân phối là gì

Loại chức năng là gì:

$f_X(x) = 2 \lambda \pi x e^{-\lambda \pi x ^2}$

Đây có phải là một phân phối phổ biến? Tôi đang cố gắng tìm khoảng tin cậy của bằng cách sử dụng công cụ ước tính và tôi đang đấu tranh để chứng minh nếu điều này ước lượng có bình thường tiệm cận.$\lambda$$\hat{\lambda}=\frac{n}{\pi \sum^n_{i=1} X^2_i}$

Cảm ơn

Nó là một căn bậc hai của phân phối theo cấp số nhân với tỷ lệ$\pi\lambda$. Điều này có nghĩa là nếu$Y\sim\exp(\pi\lambda)$, sau đó $\sqrt{Y}\sim f_X$.

Vì ước tính của bạn là ước tính khả năng tối đa, nó sẽ không bình thường. Điều này ngay sau các thuộc tính của ước tính khả năng tối đa. Trong trường hợp cụ thể này:

$$\sqrt{n}(\hat\lambda-\lambda)\to N(0,\lambda^2)$$

từ

$$E\frac{\partial^2}{\partial \lambda^2}\log f_X(X)=-\frac{1}{\lambda^2}.$$

Tại sao bạn quan tâm đến tiệm cận khi câu trả lời chính xác chỉ đơn giản (và chính xác)? Tôi giả sử rằng bạn muốn tính bình thường tiệm cận để bạn có thể sử dụng$\mathrm{Est}\pm z_{\alpha}\mathrm{StdErr}$ loại khoảng tin cậy

Nếu bạn thực hiện chuyển đổi xác suất $Y_{i}=X_{i}^{2}$ sau đó bạn có phân phối lấy mẫu theo cấp số nhân (như @mpiktas đã đề cập):

$$\newcommand{\Gamma}{\mathrm{Gamma}} \newcommand{\MLE}{\mathrm{MLE}} \newcommand{\Pr}{\mathrm{Pr}} f_{Y_{i}}(y_{i})=f_{X_{i}}(\sqrt{y_{i}})|\frac{\partial\sqrt{y_{i}}}{\partial y_{i}}|=2 \lambda \pi \sqrt{y_{i}} \exp(-\lambda \pi \sqrt{y_{i}} ^2)\frac{1}{2\sqrt{y_{i}}}=\lambda\pi\exp(-\lambda\pi y_{i})$$

Vì vậy, khả năng đăng nhập chung về mặt $D\equiv\{y_{1},\dots,y_{N}\}$ trở thành:

$$\log[f(D|\lambda)]=N\log(\pi)+N\log(\lambda)-\lambda\pi\sum_{i=1}^{N}y_{i}$$

Bây giờ cách duy nhất để dữ liệu đi vào phân tích là thông qua tổng số $T_{N}=\sum_{i=1}^{N}y_{i}$ (và cỡ mẫu $N$). Bây giờ nó là một tính toán lý thuyết lấy mẫu cơ bản để chỉ ra rằng$T_{N}\sim \Gamma(N,\pi\lambda)$và hơn thế nữa $\pi N^{-1}T_{N}\sim \Gamma(N,N\lambda)$. Chúng ta có thể làm cho số lượng "pivotal" hơn nữa bằng cách lấy$\lambda$ ra khỏi các phương trình (thông qua cùng một cách mà tôi vừa đặt $N$vào chúng). Và chúng ta có:

$$\lambda\pi N^{-1}T_{N}=\frac{\lambda}{\hat{\lambda}_{\MLE}}\sim \Gamma(N,N)$$

Lưu ý rằng do đó chúng tôi hiện có phân phối liên quan đến MLE và phân phối lấy mẫu độc lập với tham số $\lambda$. Bây giờ MLE của bạn bằng$\frac{1}{\pi N^{-1}T_{N}}$ Và viết số lượng $L_{\alpha}$ và $U_{\alpha}$ sao cho các mục sau:

$$\Pr(L_{\alpha} < G < U_{\alpha})=1-\alpha\;\;\;\;\;\;\;G\sim \Gamma(N,N)$$

Và sau đó chúng tôi có:

$$\Pr(L_{\alpha} < \frac{\lambda}{\hat{\lambda}_{\MLE}} < U_{\alpha})=\Pr(L_{\alpha}\hat{\lambda}_{\MLE} > \lambda > U_{\alpha}\hat{\lambda}_{\MLE})=1-\alpha$$

Và bạn có một chính xác $1-\alpha$ khoảng tin cậy cho $\lambda$.

LƯU Ý: Phân phối Gamma tôi đang sử dụng là kiểu "chính xác", sao cho $\Gamma(N,N)$ mật độ trông như:

$$f_{\Gamma(N,N)}(g)=\frac{N^{N}}{\Gamma(N)}g^{N-1}\exp(-Ng)$$