Có phải mọi ma trận xác định bán tích cực tương ứng với một ma trận hiệp phương sai?

Người ta biết rằng một ma trận hiệp phương sai phải xác định bán tích cực, tuy nhiên, điều đó có đúng không?

Đó là, có phải mọi ma trận xác định bán tích cực tương ứng với một ma trận hiệp phương sai?

covariance matrix

— Jingjings
nguồn

Theo định nghĩa của PD và PSD ở đây , vâng, tôi nghĩ vậy, vì chúng ta có thể làm điều này bằng cách xây dựng. Tôi sẽ giả sử một lập luận đơn giản hơn một chút rằng bạn có nghĩa là ma trận với các phần tử thực, nhưng với những thay đổi phù hợp, nó sẽ mở rộng thành ma trận phức tạp.

Đặt là ma trận PSD thực; từ định nghĩa tôi liên kết đến, nó sẽ đối xứng. Bất kỳ thực đối xứng tích cực nhất định ma trận có thể được viết như sau . Điều này có thể được thực hiện bằng nếu với trực giao và đường chéo và dạng ma trận của rễ vuông khôn ngoan thành phần của . Vì vậy, nó không cần phải là thứ hạng đầy đủ. $A$ $A$ $A = LL^T$ $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ $\sqrt{D}$ $D$

Đặt là một số biến ngẫu nhiên của vectơ, có kích thước phù hợp, với ma trận hiệp phương sai (dễ tạo). $Z$ $I$

Sau đó có hiệp phương sai ma trận . $LZ$ $A$

[Ít nhất đó là trên lý thuyết. Trong thực tế, sẽ có nhiều vấn đề về số khác nhau để giải quyết nếu bạn muốn có kết quả tốt và - vì các vấn đề thông thường với tính toán dấu phẩy động - bạn sẽ chỉ nhận được những gì bạn cần; có nghĩa là, phương sai quần thể của một tính toán thường sẽ không được chính xác . Nhưng loại điều này luôn là một vấn đề khi chúng ta thực sự tính toán mọi thứ] $LZ$ $A$

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

Mặc dù đúng là có thể phân tách mà không có thứ hạng đầy đủ, thuật toán Cholesky chỉ hoạt động với thông thường . Vì vậy, không có thứ hạng đầy đủ, nó không thể là một phân tách Cholesky. Tính toán, người ta có thể thực hiện phân rã này trong trường hợp số ít bằng cách chéo. (Mặc dù cái này đắt hơn nhiều)

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

— Horst Grünbusch

@Horst: Tại sao sẽ là tam giác thấp hơn?

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

— amip nói rằng Phục hồi lại

@amoeba Mặc dù người ta có thể tổ chức nó như vậy, nhưng nó không phải là hình tam giác thấp hơn để đối số hoạt động - đó là một tính năng của Cholesky nhưng kết quả không bắt buộc để hoạt động.

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen Là đối xứng là điều kiện cần thiết để trở thành PSD hay đó là định nghĩa của một trong nhiều?

— 114

@ 114 về mối quan hệ giữa đối xứng và PSD, xem math.stackexchange.com/questions/516533/ Kẻ

— Frank