Làm thế nào để phát triển trực giác cho xác suất có điều kiện?

Trong các bài giảng video từ Thống kê 110 của Harvard : Khóa học xác suất có thể tìm thấy trên iTunes và YouTube, tôi đã gặp phải vấn đề này. Tôi đã cố gắng tóm tắt nó ở đây:

Giả sử chúng ta được trao một tay bài hai lá ngẫu nhiên từ một cỗ bài tiêu chuẩn.

1. Xác suất mà cả hai thẻ đều là con át cho rằng chúng ta có ít nhất một con át chủ bài?

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

Vì có ít nhất một ace được ngụ ý nếu bạn có cả hai con át chủ bài, giao điểm có thể được giảm xuống chỉ còn $P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

Đây chỉ là

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. Xác suất mà cả hai thẻ đều là con át cho rằng chúng ta có át chủ bài?

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

Bây giờ, đâu đó dọc theo những ví dụ này tôi bị lạc ...

Cái sau rõ ràng giống như , điều này rất có ý nghĩa (với tôi) rằng đây sẽ là câu trả lời. Nếu bạn được thông báo rằng bạn có ace of spades, thì bạn biết rằng có thêm át chủ bài và lá bài nữa.$\frac{3}{51}$$3$$51$

Nhưng trong ví dụ trước, toán học có vẻ ổn (và tôi tin rằng giảng viên sẽ không đưa ra ví dụ này nếu nó không chính xác ...), nhưng tôi không thể che giấu điều này.

Làm thế nào để tôi có được một số trực giác cho vấn đề này?

Để hỗ trợ trực giác, hãy xem xét hình dung hai sự kiện (bộ kết quả):

1. Các sự kiện điều hòa, đó là thông tin được đưa ra.

2. Các sự kiện có điều kiện, có xác suất bạn muốn tìm.

Xác suất có điều kiện được tìm thấy bằng cách chia cơ hội của lần thứ hai cho cơ hội của lần đầu tiên.

---

Có cách có khả năng tương đương để xử lý hai thẻ một cách ngẫu nhiên. Một cách thuận tiện để hình dung các giao dịch này là đặt chúng trong một bảng với các hàng (giả sử) chỉ định giao dịch thẻ đầu tiên và cột thẻ thứ hai trong giao dịch. Đây là một phần của bảng này, với các hình elip ( ⋯ ) chỉ định các phần còn thiếu. Lưu ý rằng vì hai thẻ không thể giống nhau, không có mục nào tồn tại dọc theo đường chéo chính của bảng. Các hàng và cột được sắp xếp từ aces lên qua các vị vua:$52 \times 51$$\cdots$

Các câu hỏi tập trung vào con át chủ bài. Thông tin "chúng tôi có ít nhất một con át" định vị cặp trong bốn hàng đầu tiên hoặc bốn cột đầu tiên. Trong tâm trí của chúng ta, chúng ta có thể hình dung điều đó bằng sơ đồ bằng cách tô màu các hàng và cột này. Tôi đã tô màu cho chúng màu đỏ, nhưng khi cả hai con át chủ bài xuất hiện, tôi đã tô màu cho chúng màu đen:

$2\times 6 = 12$$2\times (4\times 48) = 384$$12+384=396$

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

Nó là phần màu đen của vùng đỏ + đen.

Câu hỏi thứ hai khẳng định "chúng ta có át chủ bài." Điều này chỉ tương ứng với hàng và cột đầu tiên :

$2\times 3 = 6$$2\times 48=96$$96+6 = 102$

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

Một lần nữa, nó là phần màu đen của vùng đỏ + đen.

$12$$6$

---

Tôi đã tìm thấy những số liệu sơ đồ như vậy thậm chí còn hữu ích - có lẽ đặc biệt - khi cố gắng hiểu các khái niệm xác suất phức tạp hơn, chẳng hạn như lọc các đại số sigma .

Một cách khác để thiết lập một vấn đề dẫn đến phép tính thứ hai là:

Bạn rút hai lá bài từ bộ bài. Xác suất của hai con át cho rằng lá bài đầu tiên bạn rút ra là con át chủ bài là bao nhiêu?

Phrasing này làm cho nó dễ dàng tương phản với tính toán đầu tiên. Cơ hội cơ bản của việc chọn hai con át chủ bài không thay đổi, nhưng điều kiện để có thẻ đầu tiên là một con át chủ bài hạn chế hơn điều kiện nếu là một con át chủ bài. Điều này có nghĩa là trong tính toán xác suất có điều kiện, sự kết hợp mong muốn phải xảy ra giữa các tùy chọn ít hơn, do đó nó có xác suất lớn hơn.

Hai cụm từ khác nhau (ace of spades so với thẻ đầu tiên là ace) là tương tự nhau, bởi vì chúng phá vỡ tính đối xứng / khả năng trao đổi giữa các con át chủ bài: bộ đồ hoặc thứ tự không thể được hoán đổi tùy ý.

Lúc đầu, thật khó để tôi có một chút trực giác.

Một ý tưởng là đưa vấn đề đến giới hạn. Trong trường hợp này như Steve đã lưu ý một vấn đề giống hệt nhau là: Hàng xóm của tôi có hai đứa trẻ - bạn biết rằng một trong số chúng là con trai. Xác suất mà cô ấy có hai chàng trai là gì.

Ý tưởng đầu tiên là, ok, tôi có một bé trai, đứa trẻ kia có 1/2 cơ hội là con gái và 1/2 là con trai, nhưng trong trường hợp này bạn không lấy tất cả thông tin cung cấp cho bạn sự thật ( ít nhất là bạn có con trai) bởi vì điều đó ngầm hiểu rằng cậu bé này có thể là đứa trẻ nhỏ nhất là con gái lớn nhất hoặc ngược lại hoặc cả hai đều là con trai, điều đó có nghĩa là chỉ một trong ba kết quả có thể xảy ra là thuận lợi.

Như tôi đã nói điều này dễ dàng đưa vấn đề đến giới hạn ...

Case1: Trường hợp trừu tượng giống hệt "chúng ta có một con át" -> Trong trường hợp này tưởng tượng Hàng xóm của tôi không có 2 con mà là 27, và bạn biết 26 là con trai, xác suất của điều này gần như bằng không. Trong trường hợp này, rõ ràng thông tin này cung cấp cho bạn rất nhiều thông tin rằng xác suất nói đứa trẻ còn lại là con gái. Nói chính xác, bạn sẽ có một trường hợp với 27 chàng trai, giả sử một tuple (b, b, b, b, b, b ..., b) và 27 trường hợp với 1 cô gái và 26 chàng trai (g, b, b , b ...), (b, g, b, b, b ...), vì vậy xác suất của tất cả các chàng trai là 1/27, nói chung sẽ là 1 / (N + 1)

case2: Thông tin cụ thể. Điều này sẽ giống hệt như "Chúng tôi có át chủ bài" hoặc "chúng tôi có lá bài đầu tiên là át chủ bài". Trong trường hợp này hãy tưởng tượng người hàng xóm của chúng tôi có 26 đứa con trai và đang mang thai ngày 27. Xác suất mà ngày 27 sẽ là con trai là bao nhiêu?

Với case2 tôi khá chắc chắn rằng tất cả chúng ta đều có thể nắm bắt được trực giác cần thiết cho loại vấn đề xác suất có điều kiện không rõ ràng này.

Nếu bạn muốn trở nên giàu có, bạn phải đặt cược vào trường hợp đầu tiên với 26 chàng trai và 27 tuổi vì thiếu thông tin cụ thể có nghĩa là rất nhiều năng lượng xác suất đối với đứa trẻ còn lại trong khi trong trường hợp thứ hai, entropy là rất lớn, chúng ta có không biết thông tin để biết đặt cược ở đâu.

Tôi hy vọng điều này hữu ích

Làm thế nào người ta có thể nói câu trả lời là 3/51 mà không tính toán?

Nếu bạn lấy ace of spades ở nơi đầu tiên. Tôi biết những thẻ ar trong gói. Vì vậy, có 3 stes trên 51 thẻ. Vì vậy, đối với người thứ hai, bạn có 3/51 cơ hội để có hai con át chủ bài.

Và làm thế nào để hiểu sự khác biệt giữa hai kịch bản bằng trực giác?

Đó là bởi vì "Có một con át" được bao gồm trong "Có hai con át chủ bài". Nhưng "Có ace of spades" không được bao gồm trong "Có hai con át chủ bài". Đây là sự khác biệt.

Trong thực tế, nếu bạn có hai con át chủ bài, bạn có một con nhưng có thể không phải là con át chủ bài nên không có xác suất như nhau.

Câu trả lời này là cho một bài viết khác đã được di chuyển trên bài này ..