Hiệp phương sai của một vectơ ngẫu nhiên sau khi biến đổi tuyến tính

20

Nếu là vectơ ngẫu nhiên và là ma trận cố định, ai đó có thể giải thích tại sao $\mathbf {Z}$ $A$

c o v [Một Z] = = Một c o v [Z] {Một}^{⊤} .

$\mathrm{cov}[A \mathbf {Z}]= A \mathrm{cov}[\mathbf {Z}]A^\top.$

covariance

— người dùng92612
nguồn

26

Đối với một vectơ (cột) ngẫu nhiên với vectơ trung bình , ma trận hiệp phương sai được định nghĩa là . Do đó, ma trận hiệp phương sai của , có vectơ trung bình là , được đưa ra bởi $\mathbf Z$ $\mathbf{m} = E[\mathbf{Z}]$ $\operatorname{cov}(\mathbf{Z}) = E[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]$ $A\mathbf{Z}$ $A\mathbf{m}$

\begin{aligned} cov (Một Z) & = = E [(Một Z - Một m) (Một Z - Một m)^{T}] \\ = = E [Một (Z - m) (Z - m)^{T} {Một}^{T}] \\ = = Một E [(Z - m) (Z - m)^{T}] {Một}^{T} \\ = = Một cov (Z) {Một}^{T} . \end{aligned}

$\begin{align}\operatorname{cov}(A\mathbf{Z}) &= E[(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})^T]\\ &= E[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T]\\ &= AE[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T\\ &= A\operatorname{cov}(\mathbf{Z})A^T. \end{align}$

— Dilip Sarwate
nguồn

1

Tôi đã sửa lỗi đánh máy của tôi. Cảm ơn đã chỉ ra lỗi của tôi.

— dùng92612

4

$\mathbf{Z}A^T$

c o v (Z {Một}^{T}) = = Một c o v (Z) {Một}^{T}

$\mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T) = A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T$

\begin{aligned} c o v (Z {Một}^{T}) & = = E [(Z {Một}^{T} - m {Một}^{T}) (Z {Một}^{T} - m {Một}^{T})^{T}] \\ = = E [(Z - m) {Một}^{T} Một (Z - m)^{T}] \\ = = E [Một (Z - m) (Z - m)^{T} {Một}^{T}] \\ = = Một E [(Z - m) (Z - m)^{T}] {Một}^{T} \\ = = Một c o v (Z) {Một}^{T} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T)&=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)^T] \\ &=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})A^TA(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T] \\ &=\mathbb{E}[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T] \\ &=A\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T \\ &=A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T \\ \end{align}$

$AB^TBA^T=BAA^TB^T$

\begin{aligned} Một B^{T} B {Một}^{T} & = = {({(Một B^{T} B {Một}^{T})}^{T})}^{T} \\ = = {(B {Một}^{T} Một B^{T})}^{T} \\ = = B {(B {Một}^{T} Một)}^{T} \\ = = B Một {Một}^{T} B^{T} \end{aligned}

$\begin{align}AB^TBA^T &= \left(\left(AB^TBA^T\right)^T\right)^T \\ &= \left(BA^TAB^T\right)^T \\ &= B\left(BA^TA\right)^T \\ &= BAA^TB^T \end{align}$

— Jan Kukacka
nguồn