Bằng chứng bất bình đẳng của Cantelli

Tôi đang cố gắng chứng minh sự bất bình đẳng sau đây:

EDIT: Gần như ngay lập tức sau khi tôi đăng câu hỏi này, tôi phát hiện ra rằng sự bất bình đẳng mà tôi đang được yêu cầu chứng minh được gọi là bất đẳng thức của Cantelli. Khi tôi viết nó lên, tôi đã không nhận ra sự bất bình đẳng đặc biệt này có một cái tên. Tôi đã tìm thấy nhiều bằng chứng thông qua Google, vì vậy tôi không nói đúng là cần một giải pháp nữa. Tuy nhiên, tôi vẫn giữ câu hỏi này vì không có bằng chứng nào tôi tìm thấy liên quan đến việc viện dẫn thực tế rằng , như ban đầu dự định.$t=E(t-X)\leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$

Đối với $t \geq 0$ ,

$\mathbb{P}(X-E(X)\geq t)\leq \frac{V(X)}{V(X)+t^2}$

Giáo sư của chúng tôi đã cho chúng tôi những "gợi ý" sau để giải quyết vấn đề này: "Trước tiên hãy giải quyết vấn đề giả sử $E(X)=0$ sau đó sử dụng thực tế là $t=E(t-X)\leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$ . "

EDIT: Để rõ ràng, trong ký hiệu của tôi, $\mathbb{I}$ đề cập đến chức năng chỉ báo.

Phần đầu tiên khá đơn giản. Về cơ bản, đây là một biến thể của bằng chứng cho sự bất bình đẳng của Markov hoặc Ch Quachev. Tôi đã làm nó như sau:

$V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-E(X))^2f(x)dx$

(Tôi biết rằng, nói một cách chính xác, chúng ta nên thay bằng, giả sử, và bằng khi đánh giá một tích phân. Mặc dù vậy, thành thật mà nói, tôi thấy rằng ký hiệu / quy ước là khó hiểu và không cần thiết minh bạch khủng khiếp, vì vậy tôi gắn bó với ký hiệu không chính thức hơn của mình.)u f ( x ) f x ( u $x$$u$$f(x)$$f_x(u)$

Nếu chúng ta giả sử , thì ở trên đơn giản hóa thành$E(X)=0$

$V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx$

Vì lợi ích của tôi, tôi sẽ bỏ qua một số bước, nhưng thật dễ dàng để hiển thị sau đó

P ( X > t ) ≤ V ( X $V(X)\geq t^2 P(X>t)$ , hay đúng hơn là . Vì , chúng ta có thể thay thế ở phía bên trái của cái sau bằng . E(X)=0XX-E(X$P(X>t)\leq \frac{V(X)}{t^2}$$E(X)=0$$X$$X-E(X)$

Đây là nơi tôi đang gặp khó khăn để di chuyển về phía trước. Tôi không hiểu làm thế nào để sử dụng thực tế là . Một lần nữa, vì , chúng ta có thể thay thế bằng cho . Điều này tương đương với . Sau đó, chúng ta có thể viết lại trong mẫu số ở phía bên phải của bất đẳng thức là , do thuật ngữ giữa bỏ ra đơn giản hóa thành . Nhưng tôi cũng không thấy mình có thể đi đâu từ đây. Mặc dù bạn có thể viết lại phần này dưới dạng , điều này ít nhất giúp tôi có thuật ngữ ở đúng vị trí.E ( X ) = 0 t - E ( X ) t E ( t - X ) t 2 [ E ( t - X ) ] 2 t 2 - [ E ( X ) ] $t=E(t-X)\leq E[(t-x)\mathbb{I}_{X<t}]$$E(X)=0$$t-E(X)$$t$$E(t-X)$$t^2$$[E(t-X)]^2$$t^2-[E(X)]^2$V ( X ) + t $t^2+V(X)-E(X^2)$$V(X)+t^2$

Rõ ràng tôi đang thiếu một cái gì đó, ở đây, liên quan đến , nhưng tôi hoàn toàn không biết phải làm gì với thuật ngữ này. Tôi hiểu khái niệm những gì thuật ngữ này nói với tôi. Theo trực giác, giá trị dự kiến ​​của sẽ nhỏ hơn cùng một lượng nếu bị giới hạn ở mức nghiêm ngặt nhỏ hơn ; có nghĩa là, thuật ngữ trước có thể là tiêu cực, trong khi thuật ngữ sau phải tích cực. Nhưng tôi không thấy làm thế nào tôi có thể sử dụng thực tế này trong bằng chứng.t - X X $E(t-X) \leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$$t-X$$X$$t$

Tôi đã thử "phân phối" bên trong để đơn giản hóa ...

$E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]=E[t\mathbb{I}_{X<t} - X\mathbb{I}_{X<t}]=tP(X<t)-?$

Nhưng tôi không chắc cách đánh giá .$E(X\mathbb{I}_{X<t}]$

Bất cứ ai có một ý tưởng hoặc một gợi ý?

Xác định , theo sau đó và .E [ Y ] = 0 V a $Y=X-\mathbb{E}[X]$$\mathbb{E}[Y]=0$$\mathbb{Var}[Y]=\mathbb{Var}[X]=:\sigma^2=\mathbb{E}[Y^2]$

Đối với , sử dụng bất đẳng thức của Markov, chúng ta có Thu nhỏ: cho và kết quả như sau: Pr ( Y ≥ t ) = Pr ( Y + u ≥ t + u ) ≤ Pr ( ( Y + u ) $t,u>0$≤ E [ ( Y + u ) 2