Giải thích cho mức độ tự do không nguyên trong thử nghiệm t với phương sai không bằng nhau

Quy trình kiểm tra SPSS báo cáo 2 phân tích khi so sánh 2 phương tiện độc lập, một phân tích có phương sai bằng nhau được giả định và một phân tích có phương sai bằng nhau không được giả định. Độ tự do (df) khi các phương sai bằng nhau được giả định luôn là các giá trị nguyên (và bằng n-2). Df khi các phương sai bằng nhau không được giả sử là không nguyên (ví dụ: 11.467) và không ở đâu gần n-2. Tôi đang tìm kiếm một lời giải thích về logic và phương pháp được sử dụng để tính toán các df không nguyên này.

Welch-Satterthwaite df có thể được hiển thị là một trung bình hài hòa có trọng số của hai bậc tự do, với trọng số tỷ lệ với độ lệch chuẩn tương ứng.

Biểu thức ban đầu đọc:

$$\nu_{_W} = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{s_1^4}{n_1^2\nu_1}+\frac{s_2^4}{n_2^2\nu_2}}$$

Lưu ý rằng là phương sai ước tính của giá trị trung bình mẫu thứ i hoặc bình phương của sai số chuẩn thứ i của giá trị trung bình . Đặt r = r 1 / r 2 (tỷ lệ phương sai ước tính của phương tiện mẫu), vì vậy$r_i=s_i^2/n_i$$i^\text{th}$$i$$r=r_1/r_2$

$$\begin{align} \nu_{_W} &= \frac{\left(r_1+r_2\right)^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \newline \newline &=\frac{\left(r_1+r_2\right)^2}{r_1^2+r_2^2}\frac{r_1^2+r_2^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \newline \newline &=\frac{\left(r+1\right)^2}{r^2+1}\frac{r_1^2+r_2^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \end{align}$$

Yếu tố đầu tiên là , mà tăng từ 1 tại r = 0 đến 2 tại r = 1 và sau đó giảm xuống 1 tại r = ∞ ; nó đối xứng trong log r .$1+\text{sech}(\log(r))$$1$$r=0$$2$$r=1$$1$$r=\infty$$\log r$

Yếu tố thứ hai là một ý nghĩa hài hòa có trọng số :

$$H(\underline{x})=\frac{\sum_{i=1}^n w_i }{ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}\,.$$

$w_i=r_i^2$

$r_1/r_2$$\nu_1$$r_1/r_2$$0$$\nu_2$$r_1=r_2$$s_1^2=s_2^2$ you get the usual equal-variance t-test d.f., which is also the maximum possible value for $\nu_{_W}$.

--

With an equal-variance t-test, if the assumptions hold, the square of the denominator is a constant times a chi-square random variate.

The square of the denominator of the Welch t-test isn't (a constant times) a chi-square; however, it's often not too bad an approximation. A relevant discussion can be found here.

A more textbook-style derivation can be found here.

What you are referring to is the Welch-Satterthwaite correction to the degrees of freedom. The $t$-test when the WS correction is applied is often called Welch's $t$-test. (Incidentally, this has nothing to do with SPSS, all statistical software will be able to conduct Welch's $t$-test, they just don't usually report both side by side by default, so you wouldn't necessarily be prompted to think about the issue.) The equation for the correction is very ugly, but can be seen on the Wikipedia page; unless you are very math savvy or a glutton for punishment, I don't recommend trying to work through it to understand the idea. From a loose conceptual standpoint however, the idea is relatively straightforward: the regular $t$-test assumes the variances are equal in the two groups. If they're not, then the test should not benefit from that assumption. Since the power of the $t$-test can be seen as a function of the residual degrees of freedom, one way to adjust for this is to 'shrink' the df somewhat. The appropriate df must be somewhere between the full df and the df of the smaller group. (As @Glen_b notes below, it depends on the relative sizes of $s^2_1/n_1$ vs $s_2^2/n_2$; if the larger n is associated with a sufficiently smaller variance, the combined df can be lower than the larger of the two df.) The WS correction finds the right proportion of way from the former to the latter to adjust the df. Then the test statistic is assessed against a $t$-distribution with that df.