Ví dụ về công cụ ước tính khả năng tối đa không nhất quán

Tôi đang đọc một bình luận cho một bài báo, và tác giả nói rằng đôi khi, mặc dù các công cụ ước tính (được tìm thấy bởi ML hoặc quasilikabilities tối đa) có thể không nhất quán, sức mạnh của một tỷ lệ khả năng hoặc kiểm tra tỷ lệ gần như vẫn có thể hội tụ 1 là số lượng dữ liệu quan sát có xu hướng vô cùng (tính nhất quán thử nghiệm). Làm thế nào và khi nào điều này xảy ra? Bạn có biết một số thư mục?

[Tôi nghĩ rằng đây có thể là một ví dụ về loại tình huống đang thảo luận trong câu hỏi của bạn.]

Có rất nhiều ví dụ về các công cụ ước tính ML không nhất quán. Sự không nhất quán thường thấy với một loạt các vấn đề hỗn hợp hơi phức tạp và các vấn đề kiểm duyệt.

[Tính nhất quán của một bài kiểm tra về cơ bản là chỉ là sức mạnh của các thử nghiệm cho một (cố định) giả thuyết tăng lên một khi $n\to\infty$ .]

Radford Neal đưa ra một ví dụ trong bài viết trên blog của anh ấy về 2008-08-09 Ước tính khả năng tối đa không nhất quán: Một ví dụ thông thường . Nó bao gồm ước lượng của tham số $\theta$ in:

(Neal sử dụng nơi tôi có θ ), nơi dự toán ML của θ sẽ có xu hướng 0 như n → ∞ (và thực sự là khả năng có thể cao hơn ở mức đỉnh gần 0 hơn ở giá trị thực sự cho các kích cỡ mẫu khá khiêm tốn). Tuy nhiên, đó là trường hợp có một đỉnh gần giá trị thực$t$$\theta$$\theta$$0$$n\to\infty$ , nó chỉ là nhỏ hơn so với gần 0.$\theta$

Bây giờ hãy tưởng tượng hai trường hợp liên quan đến tình huống này:

a) thực hiện kiểm tra tỷ lệ khả năng của so với phương án H 1 : θ < θ $H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta<\theta_0$ ;

b) thực hiện kiểm tra tỷ lệ khả năng của so với phương án H 1 : θ ≠ θ $H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta\neq\theta_0$ .

Trong trường hợp (a), hãy tưởng tượng rằng đúng (để thay thế là đúng và 0 là phía bên kia của sự thật θ ). Sau đó, mặc dù thực tế là khả năng rất gần với 0 sẽ vượt qua con tại θ , khả năng tại θ vẫn vượt quá khả năng tại θ 0 thậm chí trong các mẫu nhỏ, và tỷ lệ này sẽ tiếp tục phát triển lớn như n → $\theta<\theta_0$$0$$\theta$$\theta$$\theta$$\theta_0$$n\to\infty$ , trong đó một cách để làm cho xác suất loại bỏ trong thử nghiệm tỷ lệ khả năng đi đến 1.

Thật vậy, ngay cả trong trường hợp (b), miễn là được cố định và giới hạn từ $\theta_0$$0$ , thì cũng có thể là tỷ lệ khả năng sẽ tăng theo cách để xác suất loại bỏ trong thử nghiệm tỷ lệ khả năng cũng cách tiếp cận 1.

Vì vậy, đây dường như là một ví dụ về ước lượng ML không nhất quán, trong đó sức mạnh của LRT vẫn phải là 1 (trừ khi ).$\theta_0=0$

[Lưu ý rằng thực sự không có gì cho điều này chưa có trong câu trả lời của người làm trắng, mà tôi nghĩ là một ví dụ rõ ràng và đơn giản hơn nhiều để hiểu sự khác biệt giữa tính nhất quán kiểm tra và tính nhất quán của công cụ ước tính. Thực tế là công cụ ước tính không nhất quán trong ví dụ cụ thể không phải là ML không thực sự quan trọng đến mức hiểu được sự khác biệt đó - và mang đến một công cụ ước tính không nhất quán mà cụ thể là ML - như tôi đã cố gắng thực hiện ở đây - không thực sự thay đổi giải thích theo bất kỳ cách thực chất nào. Điểm thực sự duy nhất của ví dụ ở đây là tôi nghĩ nó giải quyết mối quan tâm của bạn về việc sử dụng công cụ ước tính ML.]

Đặt được rút iid từ phân phối Bình thường ( μ , 1 ) . Xem xét công cụ ước tính$(X_n)$$(\mu, 1)$

Sự phân bố của là Normal ( μ + 1 , 1 / $T(X_1,\ldots,X_n)=1+\bar{X}$. Nó hội tụ đếnμ+1≠$(\mu+1, 1/\sqrt{n})$$\mu+1\ne \mu$ , cho thấy nó không phù hợp.

Khi so sánh một giả thuyết đến một giải pháp đơn giản, nói μ = μ A , tỷ lệ log likelihood sẽ được chính xác giống như các LLR dựa trên ˉ X thay vì T . (Trong thực tế, T là hữu ích để so sánh giả thuyết μ + 1 = μ 0 + 1 với giả thuyết thay thế μ + 1 = μ A + 1 ). Kể từ khi thử nghiệm dựa trên giá trị trung bình có sức mạnh hội tụ để 1 đối với bất kỳ kích thước kiểm tra $\mu=\mu_0$$\mu=\mu_A$$\bar{X}$$T$$T$$\mu+1=\mu_0+1$$\mu+1=\mu_A+1$$1$ và bất kỳ kích thước hiệu ứng nào, sức mạnh của phép thử sử dụngchính T cũng hội tụ thành 1 .$\alpha\gt 0$$T$$1$