Ước tính số lượng bóng bằng cách chọn liên tiếp một quả bóng và đánh dấu nó

Hãy nói rằng tôi có N quả bóng trong một cái túi. Trong lần rút thăm đầu tiên, tôi đánh dấu quả bóng và thay thế nó trong túi. Trong lần rút thăm thứ hai của tôi, nếu tôi nhặt được một quả bóng được đánh dấu, tôi sẽ trả nó lại vào túi. Tuy nhiên, nếu tôi nhặt được một quả bóng không được đánh dấu thì tôi đánh dấu nó và trả lại cho vào túi. Tôi tiếp tục điều này cho bất kỳ số lượng bốc thăm. Số lượng bóng dự kiến trong túi cho một số lần rút và lịch sử rút thăm được đánh dấu / không đánh dấu là gì?

— ashemon
nguồn

Có thể liên quan: bạn đã xem xét phương pháp bắt giữ để ước tính mức độ phong phú của dân số chưa? vi.wikipedia.org/wiki/Mark_and_recapture

— a.arfe

"Dự kiến số" không thể được hiểu theo nghĩa kỹ thuật thông thường của một giá trị kỳ vọng, vì không có phân bố xác suất cho

N

$N$ . Có vẻ như bạn đang yêu cầu cho một ước lượng của

N

$N$ .

— whuber

$\mathcal{I}$ $N$ $\mathcal{I}$ $M$ $k$ $M$ $E(N|k)$ $M,k$

Theo quy tắc Bayes, chúng ta có

\begin{aligned} P (N = j | k) & = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{P (k)} \\ = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{\sum_{r \in I} P (k | N = r) P (N = r)} \end{aligned}

$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$

$P(k|N=j)$ $P(k|N=j)$ $k$ $M$ $j$

P (k | N = j) = \frac{(\binom{j}{k}) k! S (M, k)}{j^{M}}

$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$

Trong đó biểu thị một số khuấy của loại thứ hai . Sau đó chúng ta có thể tính toán $S$

E (N | k) = \sum_{j \in I} j P (N = j | k)

$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$

Dưới đây là một số tính toán cho và khác nhau . Trong mỗi trường hợp, chúng tôi sử dụng đồng phục trước $k$ $M$ $[k,10k]$

\begin{array}{ccc} M & k & E (N) \\ 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69 \\ 30 & 15 & 20.00 \\ 30 & 20 & 39.53 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$

— người dùng35546
nguồn