Tại sao độ lệch chuẩn mẫu là một ước lượng sai lệch của


57

Theo bài viết trên Wikipedia về ước tính không thiên vị về độ lệch chuẩn của mẫu SD

s=1n1i=1n(xix¯)2

là một ước lượng sai lệch của SD của dân số. Nó nói rằng .E(s2)E(s2)

Lưu ý Biến ngẫu nhiên độc lập và mỗi xiN(μ,σ2)

Câu hỏi của tôi là hai lần:

  • Bằng chứng của sự thiên vị là gì?
  • Làm thế nào để tính toán kỳ vọng của độ lệch chuẩn mẫu

Kiến thức của tôi về toán học / số liệu thống kê chỉ là trung gian.


4
Bạn sẽ tìm thấy cả hai câu hỏi được trả lời trong bài viết Wikipedia về phân phối Chi .
whuber

Câu trả lời:


57

Câu trả lời của @ NRH cho câu hỏi này đưa ra một bằng chứng đơn giản, tốt đẹp về độ lệch của độ lệch chuẩn mẫu. Ở đây tôi sẽ tính toán rõ ràng kỳ vọng về độ lệch chuẩn mẫu (câu hỏi thứ hai của người gửi ban đầu) từ một mẫu được phân phối bình thường, tại đó độ lệch là rõ ràng.

Phương sai mẫu không thiên vị của một tập hợp các điểm x1,...,xn

s2=1n1i=1n(xix¯)2

Nếu được phân phối bình thường, thực tế làxi

(n1)s2σ2χn12

nơi là sai sự thật. Các χ 2 k phân phối có mật độ xác suấtσ2χk2

p(x)=(1/2)k/2Γ(k/2)xk/21ex/2

sử dụng điều này, chúng ta có thể rút ra giá trị mong đợi của ;s

E(s)=σ2n1E(s2(n1)σ2)=σ2n10x(1/2)(n1)/2Γ((n1)/2)x((n1)/2)1ex/2 dx

s2(n1)σ2χ2χ2

E(s)=σ2n10(1/2)(n1)/2Γ(n12)x(n/2)1ex/2 dx=σ2n1Γ(n/2)Γ(n12)0(1/2)(n1)/2Γ(n/2)x(n/2)1ex/2 dx=σ2n1Γ(n/2)Γ(n12)(1/2)(n1)/2(1/2)n/20(1/2)n/2Γ(n/2)x(n/2)1ex/2 dxχn2 density

χn2

E(s)=σ2n1Γ(n/2)Γ(n12)

s

σE(s)=σ(12n1Γ(n/2)Γ(n12))σ4n
n

nnσ=11/4n

nhập mô tả hình ảnh ở đây


(4n)1

Bạn thực sự đã đi rất nhiều đau đớn để làm Macro này. Khi tôi lần đầu tiên nhìn thấy bài viết khoảng một phút trước, tôi đã nghĩ đến việc thể hiện sự thiên vị bằng cách sử dụng quy tắc của Jensen nhưng ai đó đã làm điều đó.
Michael Chernick

2
tất nhiên đây là một cách dễ dàng để chỉ ra rằng độ lệch chuẩn bị sai lệch - tôi chủ yếu trả lời câu hỏi thứ hai của người đăng ban đầu: "Làm thế nào để tính toán độ lệch chuẩn?".
Macro

2
sσk

2
skk

43

s2=1n1i=1n(xix¯)2
σ2
E(s2)<E(s2)=σ
s2σ2

19

Sn=i=1n(XiX¯n)2n1,
SnVar[Sn]0
0<Var[Sn]=E[Sn2]E2[Sn]E2[Sn]<E[Sn2]E[Sn]<E[Sn2]=σ.
Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.