Là nhị thức âm không thể biểu thị như trong gia đình hàm mũ nếu có 2 ẩn số?

Tôi đã có một bài tập về nhà để thể hiện phân phối nhị thức âm như một họ phân phối theo cấp số nhân cho rằng tham số phân tán là một hằng số đã biết. Điều này khá dễ, nhưng tôi tự hỏi tại sao họ lại yêu cầu chúng tôi giữ tham số đó cố định. Tôi thấy rằng tôi không thể đưa ra một cách để đặt nó ở dạng đúng với hai tham số chưa được biết.

Nhìn trực tuyến, tôi thấy tuyên bố rằng nó là không thể. Tuy nhiên, tôi đã không tìm thấy bằng chứng nào cho thấy điều này là đúng. Tôi dường như cũng không thể tự mình nghĩ ra. Có ai có bằng chứng về điều này?

Theo yêu cầu dưới đây, tôi đã đính kèm một vài yêu cầu:

"Họ phân phối nhị thức âm với số lần thất bại cố định (còn gọi là tham số thời gian dừng) r là một họ theo cấp số nhân. Tuy nhiên, khi bất kỳ tham số cố định nào được đề cập ở trên đều được phép thay đổi, họ kết quả không phải là họ theo hàm mũ. " http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_f Family

"Phân phối nhị thức âm hai tham số không phải là thành viên của họ hàm mũ. Nhưng nếu chúng ta coi tham số phân tán là hằng số đã biết, cố định, thì đó là một thành viên." http://www.unc.edu/cifts/2006spring/ecol/145/001/docs/lectures/lecture21.htm

— Larry
nguồn

Tôi đã thêm một vài yêu cầu ở trên.

— Larry

Nếu bạn xem mật độ của phân phối nhị thức âm so với số đo đếm trên tập số nguyên, phần trong mật độ này không thể được biểu thị dưới dạng .

\begin{aligned} p (x | N, p) & = (\binom{x + N - 1}{N - 1}) p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1)!}{x! (N - 1)!} p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1) \dots (x + 1)}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} \\ = \frac{\exp {N \log (p)}}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} (x + N - 1) \dots (x + 1) \end{aligned}

$\begin{align*}p(x|N,p)&={x+N-1\choose{N-1}}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)!}{x!(N-1)!}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)\cdots(x+1)}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}\\ &= \frac{\exp\left\{N\log(p)\right\}}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}(x+N-1)\cdots(x+1)\end{align*}$

(x + N - 1) \dots (x + 1)

$(x+N-1)\cdots(x+1)$

\exp {A (N)^{T} B (x)}

$\exp\left\{ A(N)^\text{T}B(x)\right\}$

— Tây An
nguồn