Sự khác biệt giữa và gì?

Nói chung, sự khác biệt giữa và gì?$E(X|Y)$$E(X|Y=y)$

Trước đây là chức năng của và sau là chức năng của ? Thật khó hiểu ..$y$$x$

Nói một cách đơn giản, sự khác biệt giữa $E(X \mid Y)$ và $E(X \mid Y = y)$ là cái trước là một biến ngẫu nhiên, trong khi cái sau là (theo một nghĩa nào đó) là sự nhận ra $E(X \mid Y)$ . Ví dụ, nếu

$$(X, Y) \sim \mathcal N\left(\mathbf 0, \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\right)$$ thì $E(X \mid Y)$là biến ngẫu nhiên $$E(X \mid Y) = \rho Y.$$ Ngược lại, một khi $Y = y$ được quan sát, nhiều khả năng chúng ta sẽ quan tâm đến đại lượng $E(X \mid Y = y) = \rho y$ là một vô hướng.

Có thể điều này có vẻ như là sự phức tạp không cần thiết, nhưng coi là một biến ngẫu nhiên theo đúng nghĩa của nó là điều làm cho những thứ như luật tháp E ( X ) = E [ E ( X ∣ Y ) ] có ý nghĩa - điều ở bên trong niềng răng là ngẫu nhiên, vì vậy chúng ta có thể hỏi kỳ vọng của nó là gì, trong khi không có gì ngẫu nhiên về E ( X ∣ Y = y ) . Trong hầu hết các trường hợp, chúng tôi có thể hy vọng tính được E ( X ∣ Y $E(X \mid Y)$$E(X) = E[E(X \mid Y)]$$E(X \mid Y = y)$

$$E(X \mid Y = y) = \int x f_{X\mid Y}(x \mid y) \ dx$$

và sau đó nhận bằng cách "cắm" biến ngẫu nhiên Y thay cho y trong biểu thức kết quả. Như được gợi ý trong một bình luận trước đó, có một chút tinh tế có thể len ​​lỏi vào việc làm thế nào những điều này được xác định chặt chẽ và liên kết chúng theo cách thích hợp. Điều này có xu hướng xảy ra với xác suất có điều kiện, do một số vấn đề kỹ thuật với lý thuyết cơ bản.$E(X \mid Y)$$Y$$y$

Giả sử $X$ và $Y$ là các biến ngẫu nhiên.

Đặt $y_0$ là một số thực cố định , giả sử $y_0 = 1$ . Khi đó, $E[X\mid Y=y_0]= E[X\mid Y = 1]$ là một số : đó là giá trị mong đợi có điều kiện của $X$ khi $Y$ có giá trị $1$ . Bây giờ, lưu ý cho một số số thực cố định khác $y_1$ , giả sử $y_1=1.5$ , $E[X\mid Y = y_1] = E[X\mid Y = 1.5]$ sẽ là giá trị mong đợi có điều kiện của $X$ với$Y = 1.5$ (một số thực). Không có lý do gì để cho rằng$E[X\mid Y = 1.5]$ và$E[X\mid Y = 1]$ có cùng giá trị. Do đó, chúng ta cũng có thể coi$E[X\mid Y=y]$ là mộthàm có giá trị thực $g(y)$ ánh xạ các số thực$y$ thành các số thực$E[X\mid Y = y]$ . Lưu ý rằng câu lệnh trong câu hỏi của OP rằng$E[X\mid Y = y]$ là hàm của $x$ không chính xác:$E[X\mid Y = y]$ là hàm có giá trị thực của$y$ .

Mặt khác, $E[X\mid Y]$ là một biến ngẫu nhiên $Z$ mà sẽ xảy ra là một chức năng của biến ngẫu nhiên $Y$ . Bây giờ, bất cứ khi nào chúng ta viết $Z = h(Y)$ , điều chúng ta muốn nói là bất cứ khi nào biến ngẫu nhiên $Y$ xảy ra có giá trị $y$ , biến ngẫu nhiên $Z$ có giá trị $h(y)$ . Bất cứ khi nào $Y$ nhận giá trị $y$ , biến ngẫu nhiên $Z = E[X\mid Y]$ nhận giá trị$E[X\mid Y = y] = g(y)$ . Do đó,$E[X\mid Y]$ chỉ là một tên khác cho biến ngẫu nhiên$Z = g(Y)$ . Lưu ý rằng$E[X\mid Y]$ là một hàm của$Y$ (không phải$y$ như trong tuyên bố của câu hỏi của OP).

Như một ví dụ minh họa đơn giản, giả sử $X$ và $Y$ là các biến ngẫu nhiên rời rạc với phân phối chung

$$\begin{align} P(X=0,Y=0) &= 0.1,~~ P(X=0, Y=1) = 0.2,\\ P(X=1,Y=0) &= 0.3,~~ P(X=1,Y=1) = 0.4. \end{align}$$ Lưu ý rằng$X$và$Y$làcác biến ngẫu nhiên(phụ thuộc)Bernoullivới các tham sốtương ứng là$0.7$và$0.6$và do đó$E[X] = 0.7$ và$E[Y] = 0.6$. Bây giờ, lưu ý rằngđiều kiệntrên$Y=0$,$X$là biến ngẫu nhiên Bernoulli với tham số $0.75$ trong khi điều kiện trên $Y = 1$ , $X$ là biến ngẫu nhiên Bernoulli với tham số $\frac 23$ . Nếu bạn không thể nhìn thấy tại sao điều này là để ngay lập tức, chỉ cần làm việc ra các chi tiết: ví dụ $$P(X=1\mid Y = 0) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac 34,\\ P(X=0\mid Y = 0) = \frac{P(X=0, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac 14,$$ và tương tự cho$P(X=1\mid Y=1)$và$P(X=0\mid Y = 1)$. Do đó, chúng ta có $$E[X\mid Y = 0] = \frac 34, \quad E[X \mid Y = 1] = \frac 23.$$ Do đó,$E[X\mid Y = y] = g(y)$trong đó$g(y)$là hàm có giá trị thực hưởng các thuộc tính: $$g(0) = \frac 34, \quad g(1) = \frac 23.$$

Mặt khác, $E[X\mid Y] = g(Y)$ là một biến ngẫu nhiên nhận các giá trị $\frac 34$ và$\frac 23$ với xác suất lần lượt là$0.4 = P(Y=0)$và$0.6 = P(Y=1)$. Lưu ý rằng$E[X\mid Y]$làbiến ngẫu nhiênrời rạcnhưngkhông phảilà biến ngẫu nhiên Bernoulli.

Như một liên lạc cuối cùng, lưu ý rằng

$$E[Z] = E\left[E[X\mid Y]\right] = E[g(Y)] = 0.4\times \frac 34 + 0.6\times \frac 23 = 0.7 = E[X].$$ Đó là, giá trị mong đợi củahàmnàycủa$Y$, mà chúng ta đã tính toán chỉ sử dụng phân phối biên của$Y$, cócùnggiá trị số với$E[X]$!! Đây là một minh họa cho một kết quả tổng quát hơn mà nhiều người tin là LIE: $$E\left[E[X\mid Y]\right] = E[X].$$

Xin lỗi, đó chỉ là một trò đùa nhỏ. LIE là từ viết tắt của Law of Iterated Expectation , đây là một kết quả hoàn toàn hợp lệ mà mọi người tin là sự thật.

là kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên: kỳ vọng của X có điều kiện trên Y . E ( X | Y = y ) , mặt khác, là một giá trị cụ thể: giá trị mong đợi của X khi Y = y .$E(X|Y)$$X$$Y$$E(X|Y=y)$$X$$Y=y$

Hãy nghĩ về nó theo cách này: hãy để đại diện cho lượng calo và Y đại diện cho chiều cao. E ( X | Y ) sau đó là lượng calo tiêu thụ, có điều kiện về chiều cao - và trong trường hợp này, E ( X | Y = y ) đại diện cho dự đoán tốt nhất của chúng tôi về lượng calo ( X ) khi một người có chiều cao nhất định Y = y , nói, 180 cm. $X$$Y$$E(X|Y)$$E(X|Y=y)$$X$$Y = y$

là giá trị kỳ vọng của các giá trị của X các giá trị đã cho của Y E ( X | Y = y ) là giá trị mong đợi của X với giá trị của Y là$E(X|Y)$$X$$Y$ $E(X|Y=y)$$X$$Y$$y$

Nói chung là xác suất giá trị X giá trị cho Y , nhưng bạn có thể nhận được chính xác hơn và nói P ( X = x | Y = y ) , tức là khả năng giá trị x từ khắp X 's trao y ' th giá trị của Y 's. Sự khác biệt là trong trường hợp đầu tiên, đó là về "giá trị của" và trong lần thứ hai bạn xem xét một giá trị nhất định.$P(X|Y)$$X$$Y$$P(X=x|Y=y)$$x$$X$$y$$Y$

Bạn có thể tìm thấy sơ đồ dưới đây hữu ích.