Mối quan hệ giữa gamma và phân phối chi bình phương

Nếu

Y = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$ nơi

X_{i} \sim N (0, σ^{2})

$X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ , tức là tất cả

X_{i}

$X_i$ là iid biến ngẫu nhiên bình thường của zero có nghĩa là với cùng chênh lệch, sau đó

Y \sim Γ (\frac{N}{2}, 2 σ^{2}) .

$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$

Tôi biết phân phối chi-squared là một trường hợp đặc biệt của phân phối gamma, nhưng không thể lấy được phân phối chi-squared cho biến ngẫu nhiên . Bất kỳ giúp đỡ, xin vui lòng? $Y$

chi-squared gamma-distribution

— kaka
nguồn

Một số nền tảng

Các phân phối được định nghĩa là sự phân bố các kết quả từ tổng hợp các ô vuông của biến ngẫu nhiên độc lập , vì vậy: nơi $\chi^2_n$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

If X_{1}, \dots, X_{n} \sim N (0, 1) and are independent, then Y_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \sim χ_{n}^{2},

$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$

X \sim Y

$X\sim Y$ biểu thị rằng các biến ngẫu nhiên

và

có cùng phân phối (EDIT: sẽ biểu thị cả phân phối bình phương Chi với bậc tự do và biến ngẫu nhiên có phân phối như vậy ). Bây giờ, pdf của

phân phối là

X

$X$

Y

$Y$ $\chi_n^2$ $n$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Vì vậy, thực sự là

phân phối là một trường hợp đặc biệt của

phân phối với pdf

f_{χ^{2}} (x; n) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{x}{2}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Γ (p, a)

$\Gamma(p,a)$

Bây giờ rõ ràng là

f_{Γ} (x; a, p) = \frac{1}{a^{p} Γ (p)} x^{p - 1} e^{- \frac{x}{a}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2)

$\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

Trường hợp của bạn

Sự khác biệt trong trường hợp của bạn là bạn có các biến bình thường với các phương sai chung . Tuy nhiên, một phân phối tương tự phát sinh trong trường hợp đó: $X_i$ $\sigma^2\neq1$

Y_{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} = σ^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{X_{i}}{σ})}^{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y

$Y$

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{2} = σ^{2} Y_{1}

$Y_2=\sigma^2Y_1$

f_{σ^{2} χ^{2}} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

Y_{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2 σ^{2})

$Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$

σ^{2}

$\sigma^2$

a

$a$

Ghi chú

$\chi^2_n$ $\sigma^2\neq1$ $\chi_1^2$ $\chi^2_n$

— epsilone
nguồn

Y_{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y_{2} = σ^{2} U,

$Y_2=\sigma^2U,$

U \sim χ_{n}^{2} .

$U\sim\chi_n^2.$

f_{σ^{2} U} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2 U}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

Cảm ơn @kaka. Về điểm thứ nhất, trên thực tế với các ký hiệu

σ^{2} χ_{n}^{2}

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi_n^2$ Tôi đang đề cập đến biến ngẫu nhiên phát sinh khi bạn nhân một

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$ biến bởi

σ^{2}

$\sigma^2$ , vì vậy cả hai chúng tôi đều nói giống nhau ... Về điểm thứ hai, hãy nhớ lại rằng

f_{χ^{2}} (x; n)

$f_{\chi^2}(x;n)$ là ký hiệu tôi dùng để chỉ mật độ của một

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$ (thông số

n

$n$ xuất hiện như một đối số thứ hai). Với ký hiệu của bạn, mật độ của

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi^2_n$ sẽ đọc như

f_{χ_{n}^{2}} (x; n)

$f_{\chi_n^2}(x;n)$ , cũng không sao, nhưng bạn đang lặp lại hai lần

n

$n$ .

— epsilone

Nhưng trong phương trình đầu tiên bạn đã xác định

X_{n}^{2}

$\mathcal{X}_n^2$ như một sự phân phối của

\sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2} .

$\sum_{i=1}^N X_i^2.$

— kaka

Có, và trong phương trình cho

Y_{2}

$Y_2$ các

X_{i}

$X_i$ có phương sai

σ^{2}

$\sigma^2$ , vì thế

\frac{X_{i}}{σ}

$\frac{X_i}{\sigma}$ giống như

X_{i}

$X_i$ trong phương trình thứ nhất.

— epsilone

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$ biểu thị hàm phân phối Chi bình phương với

n

$n$ mức độ tự do và cũng là một biến ngẫu nhiên theo sau phân phối như vậy. Đây có thể là một sự lạm dụng ký hiệu, nhưng ý nghĩa nên rõ ràng. Tôi sẽ chỉnh sửa câu trả lời để làm rõ nó.

— epsilone