Làm thế nào để áp dụng định lý Bayes vào việc tìm kiếm một ngư dân bị mất trên biển

19

Bài báo Những điều lạ lùng, được cập nhật liên tục đề cập đến câu chuyện về một ngư dân ở Long Island, người thực sự nợ cuộc đời mình với Thống kê Bayes. Đây là phiên bản ngắn:

Có hai ngư dân trên một chiếc thuyền vào giữa đêm. Trong khi một người đang ngủ, người kia rơi xuống biển. Chiếc thuyền tiếp tục troll trên tàu tự động suốt đêm cho đến khi anh chàng đầu tiên thức dậy và thông báo cho Cảnh sát biển. Cảnh sát biển sử dụng một phần mềm có tên SAROPS (Hệ thống lập kế hoạch tối ưu tìm kiếm và cứu hộ) để tìm thấy anh ta đúng lúc, vì anh ta bị hạ thân nhiệt và sắp hết năng lượng để duy trì hoạt động.

Đây là phiên bản dài: A Speck In The Sea

Tôi muốn biết thêm về cách Định lý Bayes thực sự được áp dụng ở đây. Tôi đã tìm hiểu khá nhiều về phần mềm SAROPS chỉ bằng cách googling.

Trình mô phỏng SAROPS

Thành phần giả lập có tính đến dữ liệu kịp thời như dòng hải lưu, gió, v.v. và mô phỏng hàng ngàn đường trôi có thể. Từ những đường trôi đó, một bản đồ phân phối xác suất được tạo ra.

Lưu ý rằng đồ họa sau đây không đề cập đến trường hợp ngư dân mất tích mà tôi đã đề cập ở trên, nhưng là một ví dụ đồ chơi được lấy từ bản trình bày này

Bản đồ xác suất 1 (Màu đỏ biểu thị xác suất cao nhất; màu xanh thấp nhất) nhập mô tả hình ảnh ở đây

Lưu ý vòng tròn đó là vị trí bắt đầu.

Bản đồ xác suất 2 - Đã qua nhiều thời gian nhập mô tả hình ảnh ở đây

Lưu ý rằng bản đồ xác suất đã trở thành đa phương thức. Đó là bởi vì trong ví dụ này, nhiều kịch bản được tính đến:

Người đang trôi nổi trong nước - chế độ trên-giữa
Người đang ở trong một chiếc bè cứu sinh (bị ảnh hưởng nhiều hơn bởi gió từ phía Bắc) - 2 chế độ dưới cùng (bị chia tách vì "hiệu ứng jibing")

Bản đồ xác suất 3 - Tìm kiếm đã được tiến hành dọc theo các đường dẫn hình chữ nhật màu đỏ nhập mô tả hình ảnh ở đây Hình ảnh này hiển thị các đường dẫn tối ưu được tạo bởi trình hoạch định (một thành phần khác của SAROPS). Như bạn có thể thấy, những đường dẫn đó đã được tìm kiếm và bản đồ xác suất đã được trình giả lập cập nhật.

$p(\text{fail})$

Tác dụng của một tìm kiếm không thành công

Đây là nơi Định lý Bayes đến chơi. Khi tìm kiếm được tiến hành, bản đồ xác suất được cập nhật tương ứng để tìm kiếm khác có thể được lên kế hoạch tối ưu.

Sau khi xem xét Định lý của Bayes trên wikipedia và trong bài viết Giải thích trực quan (và ngắn) về Định lý của Bayes trên BetterExplained.com

Tôi lấy phương trình của Bayes:

P (Một | X) = = \frac{P (X | Một) \times P (Một)}{P (X)}

$P(\text{A}\mid\text{X}) = \frac{P(\text{X}\mid\text{A}) \times P(\text{A})}{P(\text{X})}$

Và định nghĩa A và X như sau ...

Sự kiện A: Người ở trong khu vực này (ô lưới)
Kiểm tra X: Tìm kiếm không thành công trên khu vực đó (ô lưới) tức là Tìm kiếm khu vực đó và không thấy gì cả

Năng suất,

P (người ở đó | không thành công) = = \frac{P (không thành công | người ở đó) \times P (người ở đó)}{P (không thành công)}

$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{unsuccessful}\mid\text{person there}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$

$P(\text{fail})$ $P(\text{fail})$

Vì vậy, bây giờ chúng tôi có,

P (người ở đó | không thành công) = = \frac{P (Thất bại) \times P (người ở đó)}{P (không thành công)}

$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{fail}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$

Là phương trình của Bayes được áp dụng chính xác ở đây?
Mẫu số, xác suất tìm kiếm không thành công sẽ được tính như thế nào?

Cũng trong Hệ thống Lập kế hoạch Tối ưu Tìm kiếm và Cứu nạn , họ nói

Các xác suất trước đó được "bình thường hóa theo kiểu Bayes thông thường" để tạo ra xác suất sau
Những gì hiện "bình thường trong thời trang Bayesian bình thường" nghĩa là gì?

$P(\text{unsuccessful})$
$P(\text{person there})$ $P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful})$

Tuy nhiên, một lưu ý đơn giản hóa khác - theo Hệ thống lập kế hoạch tối ưu tìm kiếm và cứu hộ, phân phối sau thực sự được tính bằng cách cập nhật xác suất của các đường trôi mô phỏng và THEN tạo lại bản đồ xác suất có lưới. Để giữ cho ví dụ này đủ đơn giản, tôi đã chọn bỏ qua các đường dẫn sim và tập trung vào các ô lưới.

— mlai
nguồn

6

Giả sử tính độc lập giữa các ô lưới, thì có, nó xuất hiện Định lý Bayes đã được áp dụng đúng cách.
$P (X) = = P (X | Một) P (Một) + P (X | {Một}^{c}) P ({Một}^{c})$ $P(X) = P(X|A)P(A) + P(X|A^c)P(A^c)$ $A^c$ $A$ $P(X|A^c)=1$
$P(A|X)$ $P (Một | X) α P (X | Một) P (Một) P ({Một}^{c} | X), α P (X | {Một}^{c}) P ({Một}^{c}), và P (Một | X) + P ({Một}^{c} | X) = = 1$ $P(A|X) \propto P(X|A)P(A)\quad P(A^c|X), \propto P(X|A^c)P(A^c), \mbox{ and } P(A|X)+P(A^c|X) = 1$ $P(X)$
$i$ $A_i$ $i$ $X_i$ $i$ $X$
- $\sum_i P(A_i|X)=1$
- $P(A_i|X) = P(A_i|X_i)\propto P(X_i|A_i)P(A_i)$ $P(A_i|X) \propto P(A_i)$ $P(A_i|X)$
$P(A_i|X)$

— jaradniemi
nguồn

\sum_{i} P (A_{i} | X) = 1

$\sum_{i}P(A_i|X)=1$

P (X | A) P (A)

$P(X|A)P(A)$

\sum_{i} P (X | A) P (A_{i})

$\sum_{i}P(X|A)P(A_i)$

Tôi mới nhận ra rằng việc tìm kiếm mọi ô có xác suất thất bại cố định sẽ dẫn đến hoàn toàn không có thay đổi nào trong phân phối xác suất :)

— mlai

P (X | A) P (A_{i})

$P(X|A)P(A_i)$

P (A_{i})

$P(A_i)$

4

Tôi được chỉ vào một cuốn sách có cả một chương dành riêng cho câu hỏi của tôi - Phân tích hoạt động hải quân - bởi một cựu giáo sư từng là một phi công trực thăng và thực sự đã thực hiện các nhiệm vụ tìm kiếm và cứu hộ, không hơn không kém!

Trong chương 8, một ví dụ được cung cấp giống như thế này (tôi đã tùy chỉnh nó một chút):

Để bắt đầu, có một phân phối trước có sẵn cho vị trí của người mất tích, thuyền, v.v.

Phân phối trước:

Một tìm kiếm được thực hiện trên một phần của lưới và xác suất được cập nhật với phân phối sau được chuẩn hóa bằng cách áp dụng phương trình Bayes giống như cách tôi đã đề cập trong các câu hỏi của mình:

P (mục tiêu trong (i, j) | không phát hiện) = = \frac{P (không phát hiện | mục tiêu trong (i, j)) \times P (mục tiêu trong (i, j))}{P (không phát hiện)}

$P(\text{target in (i,j)}\mid\text{no detection}) = \frac{P(\text{no detection}\mid\text{target in (i,j)}) \times P(\text{target in (i,j)})}{P(\text{no detection})}$

trong đó (i, j) = (lat, dài)

Trong trường hợp này, tôi quyết định tìm kiếm cột 3 vì cột đó có tổng số lớn nhất trước đó xác suất .

Phân phối chuẩn hóa sau khi tìm kiếm cột thứ ba w / pFail = 0,2: Phân phối sau chuẩn hóa (w / xác suất thất bại = 0,2)

Câu hỏi của tôi chủ yếu là về cách thức hậu sinh được bình thường hóa. Dưới đây là cách nó được thực hiện trong cuốn sách - chỉ cần chia mỗi xác suất sau cho từng tổng , S :

Mô tả hình ảnh

Tôi đã chọn 0,2 xác suất tìm kiếm thất bại vì giáo sư của tôi có điều này để nói, "Chúng tôi chỉ tìm kiếm tới 80% xác suất phát hiện vì đó thường là sự đánh đổi tốt nhất giữa thời gian và độ chính xác."

Chỉ với những cú đá, tôi đã chạy một ví dụ khác với pFail là 0,5. Trong ví dụ đầu tiên ( pFail = 0,2), tuyến tìm kiếm tốt nhất tiếp theo (được đưa ra sau được chuẩn hóa và giả sử tìm kiếm theo đường thẳng, không có đường chéo hoặc zig-zag) sẽ bay qua cột 2, trong ví dụ thứ hai ( pFail = 0,5) tuyến tốt nhất tiếp theo là trên hàng 2.

Phân phối sau được chuẩn hóa sau khi tìm kiếm cột thứ ba w / pFail = 0,5: phân phối sau được chuẩn hóa (w / xác suất thất bại = 0,5)

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Ông cũng nói thêm, "Máy bay mang theo một danh sách kiểm tra nhỏ để giúp xác định độ cao và tốc độ bay tốt nhất. Làm việc này trong một chiếc trực thăng bay giống như ngồi trên máy giặt, đọc một cuốn sách được dán vào một máy giặt khác."

— mlai
nguồn